Tu as besoin de €20 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0004% / 12n = 4
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €10 000 à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €150 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €10 000A = €1504,8% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €31 000, €33 000, €15 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €5 000, €7 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3%n = 3
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €1 110. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 8P = €1 110
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €8 000 000, des actions privilégiées valant €500 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 13%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €19,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €47 500 000. Elle vient de verser un dividende de €2,50 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €95 000 000 et un coût avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 23, 47, 39, 35, 41, 21, 59.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 42 ?
μ = 60σ = 12x = 42
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,05, 0,25
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 1 € pour jouer. Vous gagnez 4 € avec la probabilité 0,15 et 10 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €1€4: p = 0,15€10: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,6827. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,6827
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 75 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points75%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 10 éléments a une moyenne de 101,5 et un écart-type s = 4,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 10x̄ = 101,5s = 4,599%t(9) = 3,25
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 38. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 38E = 1,590%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 204,3 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 204,3s = 15n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 5 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 26. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 22 ?
n = 5ŷ = 22
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 17047 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·4 = 48
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,173 = €17 047,41
Réponse
PV = €17 047,41
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 78 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,004/150 = 0,7333
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,7333)/ln(1,004) = 77,69
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
77 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 78
Réponse
N = 78 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −6097 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 31 000/1,08 = 28 703,70
CF2/(1 + 0,08)2 = 33 000/1,166 = 28 292,18
CF3/(1 + 0,08)3 = 15 000/1,26 = 11 907,48
Additionner
NPV = €−6 096,63
Réponse
NPV = €−6 096,63
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 15,14 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 18,90
NPV(20%) = −625,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 15 + 5·18,90/(18,90 − (−625,00)) = 15,15%
exact: NPV(15,14%) = 0 → IRR = 15,14%
Réponse
IRR = 15,14%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1114 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,015, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €199,40
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,9145 = €914,54
Prix
P = €1 113,94
Réponse
P = €1 113,94
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 1,529 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 110 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(1%) = €1 153,03, P(2%) = €1 073,25
YTM = 1,529%
Réponse
YTM = 1,529%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,342 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût des capitaux propres
D1 = 2,5·1,04 = €2,60
re = 2,6/19 + 0,04 = 17,68%
Valeurs de marché
E = 5 000 000·€19,00 = €95 000 000
V = €190 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·17,68% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 10,84%
Réponse
WACC = 10,84%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 13,26
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,5
Table de la loi normale
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Réponse
P = 0,06681
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 1,947
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 3 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Espérance
E(G) = 3·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = 0,1 €
Réponse
E(G) = 0,1 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = 1
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,6827)/2 = 0,8413
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,8413 dans la table et lisez z.
z = 1,00
Réponse
z = 1,00
14.Loi normale
Réponse: x = 58,3 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,25
z d’après la table
z ≈ −0,67
Retour aux unités d’origine
x = 65 − 0,67·10 = 58,3 points
Réponse
x = 58,3 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 4,625
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Marge d'erreur
E = 3,25·4,5/√10 = 4,625
Réponse
E = 4,625
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1737
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·38/1,5)² = 1737
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1737
Réponse
n = 1737
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,72
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statistique de test
t = (204,3 − 200)/2,5 = 1,72
Réponse
t = 1,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 427
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((2,326 + 1,645)·26/5)² = 426,4
Arrondir vers le haut
n = 427
Réponse
n = 427
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9441
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 202/5 = 40,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 227,2
Coefficient de corrélation
r = 45/√(10·227,2) = 0,9441
Réponse
r = 0,9441
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 6,952
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 95/5 = 19
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Droite de régression
b = 126/40 = 3,15
a = 19 − 3,15·6 = 0,1
ŷ = 0,1 + 3,15·x
Résoudre pour x
x = (22 − 0,1)/3,15 = 6,952
Réponse
x = 6,952
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