Tu as besoin de €5 000 dans 8 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €5 0004% / 12n = 8
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités égales sur 3 ans. Le taux d'intérêt est de 6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €15 0006% / 12N = 36
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €13 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 6 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Son flux vaut €22 500 à la fin de l’année 1 et croît de 2 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 4. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €22 500g = 2%n = 4r = 10%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 15 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €658 quand le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 15P = €658YTM = 8%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €965. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €43,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €86 000 000. Elle vient de verser un dividende de €1,60 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €215 000 000 et un coût avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 49, 18, 58, 26, 54, 41.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 147,5.
μ = 170σ = 15x = 147,5
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 4 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 4
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 9 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?
n = 9p = 0,7k = 5
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 164 et 179,75 cm ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 179,75
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 15 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 100 pointsσ = 15 points15%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 éléments a une moyenne de 33 et un écart-type s = 2,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 16x̄ = 33s = 2,590%t(15) = 1,753
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 33. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2 ?
σ = 33E = 299%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 51 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51s = 5n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 2,5 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 6. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 17 ?
n = 6ŷ = 17
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 3633 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·8 = 96
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,376 = €3 632,68
Réponse
PV = €3 632,68
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 456,3 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8356
A = 15 000·0,005/(1 − 0,8356) = €456,33
Réponse
A = €456,33
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 4,51 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 13 000/1,06 = 12 264,15 → Σ = 12 264,15
année 2: 13 000/1,124 = 11 569,95 → Σ = 23 834,10
année 3: 13 000/1,191 = 10 915,05 → Σ = 34 749,16
année 4: 13 000/1,262 = 10 297,22 → Σ = 45 046,37
année 5: 13 000/1,338 = 9 714,36 → Σ = 54 760,73
Fraction de la dernière année
DPB = 4 + 4 953,63/9 714,36 = 4,51
Réponse
DPB = 4,51 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,846 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −26683 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de l’annuité croissante
((1,02)/(1,1))4 = 0,7393
PV = 22 500/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,7393) = 73 317,45
NPV
NPV = 73 317,45 − 100 000 = −€26 682,55
Réponse
NPV = −€26 682,55
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 4,004 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,08)−15 = €315,24
Coupon
C = (658 − 315,24)/8,559 = €40,04
Taux du coupon
c = 40,04/1000 = 4,004%
Réponse
c = 4,004%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 7,034 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€965 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,034%
Réponse
YTM = 7,034%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,972 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût des capitaux propres
D1 = 1,6·1,04 = €1,66
re = 1,664/43 + 0,04 = 7,87%
Valeurs de marché
E = 5 000 000·€43,00 = €215 000 000
V = €430 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,87% + 0,5·4%·(1 − 0,3) = 5,335%
Réponse
WACC = 5,335%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,97
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (147,5 − 170)/15 = −1,5
Réponse
z = −1,5
11.Probabilités
Réponse: P = 0,5177
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Réponse
P = 0,5177
12.Probabilités
Réponse: P = 0,1715
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,25) − Φ(−2) = 0,5987 − 0,02275 = 0,576
Réponse
P = 0,576
14.Loi normale
Réponse: x = 84,4 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,15
z d’après la table
z ≈ −1,04
Retour aux unités d’origine
x = 100 − 1,04·15 = 84,4 points
Réponse
x = 84,4 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 31,9
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Marge d'erreur
E = 1,753·2,5/√16 = 1,096
Intervalle
33 ± 1,096 → [31,9, 34,1]
Réponse
borne inférieure = 31,9
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1807
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·33/2)² = 1807
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1807
Réponse
n = 1807
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,2
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Statistique de test
t = (51 − 50)/0,8333 = 1,2
Réponse
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 63
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((1,645 + 1,645)·6/2,5)² = 62,35
Arrondir vers le haut
n = 63
Réponse
n = 63
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9979
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 2490 − 30·376/5 = 234
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 29650 − 376²/5 = 1375
Coefficient de corrélation
r = 234/√(40·1375) = 0,9979
Réponse
r = 0,9979
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 4,483
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.