Tu places €20 000 à un taux nominal de 4 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 10 ans.
PV = €20 0004% / 4n = 10
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €50 à la fin de chaque mois pendant 17 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €503,6% / 12N = 204
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €12 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 1 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €12 000g = 1%r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €20 000 et rapporte €13 500, €11 000, €12 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 13 500CF2 = 11 000CF3 = 12 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 6 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 6%n = 6
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €910. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 11,2%. Le taux sans risque est de 4%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 11,2%rf = 4%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 5 000 000 actions à €57,00 chacune et 20 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 27, 49, 59, 56, 15, 53, 55.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 182.
μ = 170σ = 20x = 182
z =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 13 ? L'ordre ne compte pas.
n = 13k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,6, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?
n = 8p = 0,6k = 5
P =
13.Loi normaleMoyen
Les masses de caisses sont indépendantes et normales, de moyenne 12 kg et d’écart-type 0,8 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 6 d’entre eux dépasse 74,9 kg. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 74,9 kg
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 90 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points90%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 7 éléments a une moyenne de 90,5 et un écart-type s = 19. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 7x̄ = 90,5s = 1990%t(6) = 1,943
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,025 ?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 50,53 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,53s = 4n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 2,5 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 15. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 61 ?
n = 6ŷ = 61
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 29777 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €10 200 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 9091 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 12 000/(0,12 − 0,01) = 109 090,91
NPV
NPV = 109 090,91 − 100 000 = €9 090,91
Réponse
NPV = €9 090,91
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 38,49 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 912,97
NPV(40%) = −371,72
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 35 + 5·912,97/(912,97 − (−371,72)) = 38,55%
exact: NPV(38,49%) = 0 → IRR = 38,49%
Réponse
IRR = 38,49%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1050 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,03, N = 12
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €348,39
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7014 = €701,38
Prix
P = €1 049,77
Réponse
P = €1 049,77
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 6,477 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€910 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(6%) = €937,90, P(7%) = €880,57
YTM = 6,477%
Réponse
YTM = 6,477%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (11,2% − 4%)/1,6 = 4,5%
Rendement du marché
rm = 4% + 4,5% = 8,5%
Réponse
rm = 8,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,41 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (182 − 170)/20 = 0,6
Réponse
z = 0,6
11.Probabilités
Réponse: N = 715
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715
Réponse
N = 715
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2787
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Centrer-réduire
z = (74,9 − 72)/1,96 = 1,48
Probabilités
P = 1 − Φ(1,48) = 0,06944
Réponse
P = 0,06944
14.Loi normale
Réponse: x = 52,2 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,1
z d’après la table
z ≈ −1,28
Retour aux unités d’origine
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 points
Réponse
x = 52,2 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 13,95
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Marge d'erreur
E = 1,943·19/√7 = 13,95
Réponse
E = 13,95
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Arrondir vers le haut
n = 1537
Réponse
n = 1537
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,193
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Statistique de test
t = (50,53 − 50)/0,4444 = 1,193
Réponse
t = 1,193
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 390
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((1,645 + 1,645)·15/2,5)² = 389,7
Arrondir vers le haut
n = 390
Réponse
n = 390
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,8681
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 50,8
Coefficient de détermination
r² = −21²/(10·50,8) = 0,8681
Réponse
r² = 0,8681
Environ 86,81 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 6,317
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 357/6 = 59,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 331
Droite de régression
b = 331/70 = 4,729
a = 59,5 − 4,729·6 = 31,13
ŷ = 31,13 + 4,729·x
Résoudre pour x
x = (61 − 31,13)/4,729 = 6,317
Réponse
x = 6,317
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