Une annuité verse €500 à la fin de chaque année pendant 15 ans. Le taux d’intérêt est de 8 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €500i = 8%n = 15
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 4 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €150 0004,8% / 12N = 300k = 48
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 6 ans et coûte €1 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €1 000n = 6r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un investissement de €40 000 rapporte €8 000 à la fin de chaque année pendant 7 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €40 000CF = €8 000n = 7
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 6 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 8%n = 6
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 14 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 226. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 226prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 3 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €27,50 chacune et 40 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 10,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 10,5%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 10, 24, 28, 58, 39, 58, 39.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 40.
μ = 70σ = 20x = 40
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,1, 0,05, 0,2, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
X a la loi indiquée, et Y = 3X + 10. Trouvez l’écart-type σY de Y.
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,7580. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,7580
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 99 % des valeurs (le 99e centile).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 140,5 h, écart-type connu 14 h. Modèle 2 : 30 téléphones, moyenne 143,5 h, écart-type connu 15 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 27,5 kg, écart-type 1 kg. Groupe de parcelles 2 : 12 parcelles, moyenne 25 kg, écart-type 7 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 78,87 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 78,87s = 12n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 81 mesures a une moyenne de 48,9. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 48,9σ = 5n = 8195%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (22,5, 77). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(22,5, 77)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 4280 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3152)/0,08 = 8,559
Valeur actuelle
PV = 500·8,559 = €4 279,74
Réponse
PV = €4 279,74
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: B = 136298 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,004, N = 300
A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−300) = €859,50
Valeur actuelle des versements restants
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 300 − 48 = 252
B = 859,5·(1 − (1 + 0,004)−252)/0,004 = €136 298,21
Réponse
B = €136 298,21
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 5067 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−6)/0,06 = 4,917
Prix d’achat annualisé
20 000/4,917 = 4 067,25
EAC
EAC = 4 067,25 + 1 000 = €5 067,25
Réponse
EAC = €5 067,25
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 9,196 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−7)/i = 40 000/8 000 = 5
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 9%: 5,033
i = 10%: 4,868
IRR = 9,196%
Réponse
IRR = 9,196%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 812,3 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €20,00, i = 0,04, N = 12
Valeur actuelle des coupons
€20,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €187,70
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,6246 = €624,60
Prix
P = €812,30
Réponse
P = €812,30
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 50 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1226 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Résoudre numériquement
y = 50%: €381,48
y = 50%: €381,48
YTC = 50%
Réponse
YTC = 50%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 2,999%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,15 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,3) = 8,15%
Réponse
WACC = 8,15%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,186 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (40 − 70)/20 = −1,5
Réponse
z = −1,5
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 2,9
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 2,45, Var(X) = 1,347, σX = 1,161
Changement linéaire
σY = |3|·1,161 = 3,482
Réponse
σY = 3,482
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 3·2,45 + 10 = 17,35.
13.Loi normale
Réponse: z = 1,17
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,7580)/2 = 0,8790
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,8790 dans la table et lisez z.
z = 1,17
Réponse
z = 1,17
14.Loi normale
Réponse: x = 134,9 points
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Retour à x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 points
Réponse
x = 134,89 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 5,705 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 140,5 − 143,5 = −3
Erreur type
SE = √(14²/50 + 15²/30) = 3,379
Marge d'erreur
E = 2,576·3,379 = 8,705
Intervalle
−3 ± 8,705 → [−11,71, 5,705]
Réponse
borne supérieure = 5,705 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: E = 6,825 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·1² + 11·7²)/15 = 36,2
sp = 6,017
Marge d'erreur
E = 2,131·6,017·√(1/5 + 1/12) = 6,825
Réponse
E = 6,825 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,903
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
Statistique de test
t = (78,87 − 75)/1,333 = 2,903
Réponse
t = 2,903
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 47,81
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·5/√81 = 1,089
Borne de l'intervalle
L = 48,9 − 1,089 = 47,81
Réponse
L = 47,81
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,7462
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 119/5 = 23,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −7
Syy = Σ(y − ȳ)² = 8,8
Coefficient de corrélation
r = −7/√(10·8,8) = −0,7462
Réponse
r = −0,7462
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 3,3
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 344/5 = 68,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Droite de régression
b = 294/90 = 3,267
a = 68,8 − 3,267·21 = 0,2
ŷ = 0,2 + 3,267·x
Valeur prédite
ŷ = 0,2 + 3,267·22,5 = 73,7
Résidu
e = 77 − 73,7 = 3,3
Réponse
e = 3,3
Le point se trouve au-dessus de la droite.
Ceci est un support d’entraînement indépendant. ExamProblems n’est ni affilié à l’organisme qui organise cet examen ni approuvé par lui, et le nom de l’examen sert uniquement à décrire le contenu. CFA® and Chartered Financial Analyst® sont des marques de CFA Institute, qui n’est pas affilié à ExamProblems, ne le cautionne pas et n’en garantit pas l’exactitude.