Tu as besoin de €10 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €10 0002% / 12n = 3
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €25 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €25 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €26 000, €29 000, €29 000, €17 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €6 500, €5 500, €4 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 500CF3 = 4 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 4 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €965 quand le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 4P = €965YTM = 6%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Elle se vend €1 335. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 11P = €1 335
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €10 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €3 000 000. Le coût des capitaux propres est de 14%, le coût des actions privilégiées de 7% et le coût de la dette avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,4 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,5. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,6. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 34, 17, 13, 40, 48, 10.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 85,6 ?
μ = 100σ = 12x = 85,6
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,15, 0,05
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 1 € pour jouer. Vous gagnez 4 € avec la probabilité 0,15 et 10 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €1€4: p = 0,15€10: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Les masses de caisses sont indépendantes et normales, de moyenne 12 kg et d’écart-type 0,8 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 8 d’entre eux dépasse 92,6 kg. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 8> 92,6 kg
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,015 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 9 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −7,2 et un écart-type de 3,2. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la différence moyenne.
n = 9d̄ = −7,2sd = 3,299%t(8) = 3,355
borne supérieure = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 20. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 20E = 2,590%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 98,9 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,9s = 4n = 64
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 8E = 295%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 68 ?
n = 6ŷ = 68
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 9418 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·3 = 36
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,062 = €9 418,12
Réponse
PV = €9 418,12
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 442,6 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 25 000·0,002/(1 − 0,887) = €442,58
Réponse
A = €442,58
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 26271 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 26 000/1,07 = 24 299,07
CF2/(1 + 0,07)2 = 29 000/1,145 = 25 329,72
CF3/(1 + 0,07)3 = 29 000/1,225 = 23 672,64
CF4/(1 + 0,07)4 = 17 000/1,311 = 12 969,22
Additionner
NPV = €26 270,65
Réponse
NPV = €26 270,65
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 32,29 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 302,69
NPV(35%) = −338,36
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 30 + 5·302,69/(302,69 − (−338,36)) = 32,36%
exact: NPV(32,29%) = 0 → IRR = 32,29%
Réponse
IRR = 32,29%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 4,99 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,06)−4 = €792,09
Coupon
C = (965 − 792,09)/3,465 = €49,90
Taux du coupon
c = 49,9/1000 = 4,99%
Réponse
c = 4,99%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 2,498 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, N = 22
Résoudre numériquement
i = 1,249% par semestre
YTM
YTM = 2·1,249% = 2,498%
Réponse
YTM = 2,498%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,97 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,4/(1 + 0,8·0,5) = 1
Réendetter au nouveau D/E
βL = 1·(1 + 0,8·0,6) = 1,48
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,48·6,5% = 13,62%
Réponse
re = 13,62%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,77
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Réponse
P = 0,1151
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,118
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 3 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Espérance
E(G) = 3·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = 0,1 €
Réponse
E(G) = 0,1 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,9332
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 96 kg, σT = 0,8·√8 = 2,263 kg
Centrer-réduire
z = (92,6 − 96)/2,263 = −1,5
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9868
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Probabilités
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Réponse
P = 0,9868
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = −3,621 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 8, t = 3,355
Marge d'erreur
E = 3,355·3,2/√9 = 3,579
Intervalle
−7,2 ± 3,579 → [−10,78, −3,621]
Réponse
borne supérieure = −3,621 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 174
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·20/2,5)² = 173,2
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 174
Réponse
n = 174
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,2
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Statistique de test
t = (98,9 − 100)/0,5 = −2,2
Réponse
t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 62
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,96·8/2)² = 61,47
Arrondir vers le haut
n = 62
Réponse
n = 62
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9945
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 136/6 = 22,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202
Syy = Σ(y − ȳ)² = 589,3
Coefficient de corrélation
r = 202/√(70·589,3) = 0,9945
Réponse
r = 0,9945
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 4,675
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 402/6 = 67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Droite de régression
b = 100/17,5 = 5,714
a = 67 − 5,714·4,5 = 41,29
ŷ = 41,29 + 5,714·x
Résoudre pour x
x = (68 − 41,29)/5,714 = 4,675
Réponse
x = 4,675
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