Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Positionnez les bits pour qu’ils représentent −3 en complément à deux sur 8 bits. Lu comme un nombre non signé, quelle est la valeur U du motif ?
Positionnez les bits sur le résultat sur 8 bits de 1111 0001 << 1. Quelle est la valeur R du résultat en décimal ?
Quelle formule est logiquement équivalente à ¬(q ↔ p) ? Cliquez dessus.
Les prémisses q ∨ r; ¬q ∨ p sont données. Quelle conclusion en découle ? Cliquez dessus.
Utilisez le tableau de Karnaugh pour trouver la forme somme de produits (SOP) minimale de F(A, B, C, D) = Σm(0, 10, 13, 15). Combien de termes produits N a-t-elle ?
Un compteur modulo 12 synchrone compte 0, 1, …, 11 puis revient à 0. Il part de 4. Quelle valeur Q (en décimal) affiche-t-il après 28 impulsions d’horloge ?
Trouvez l’inverse de 4 modulo 19 : le nombre x avec 0 < x < 19 et 4·x ≡ 1 (mod 19).
Chiffre le message m = 210 avec la clé publique RSA (n, e) = (527, 17). Trouvez le chiffré c.
La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :
Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?
Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours postfixe ?
Quelle paire de parcours détermine toujours un arbre binaire unique à clés distinctes ?
Un arbre a 2 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?
Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.
Quelle propriété ACID signifie que des transactions concurrentes ne voient pas les modifications inachevées les unes des autres ?
Une sous-requête corrélée est une sous-requête qui :
Quelles propriétés de sécurité TLS apporte-t-il à HTTPS ?
Pourquoi le côté qui ferme le premier une connexion TCP reste-t-il dans l'état TIME_WAIT pendant deux fois la durée de vie maximale d'un segment ?
Le réseau 192.168.10.0/24 doit être divisé en au moins 12 sous-réseaux égaux. Si tu empruntes le moins de bits possible, combien d'hôtes utilisables H chaque sous-réseau a-t-il ?
Un hôte a l'adresse 10.20.243.40/25. Quel est le dernier nombre (quatrième octet) x de l'adresse de diffusion de son sous-réseau ?
Réponse: U = 253
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
Réponse: R = 226
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
Un décalage à gauche de 1 déplace chaque bit de 1 positions vers la gauche ; les bits qui sortent à l’extrémité gauche sont perdus et des zéros entrent à droite.
Réponse: q ↔ ¬p
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Les colonnes après la barre sont les options dans l’ordre affiché.
Réponse: r ∨ p
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Réponse: N = 3
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Chaque groupe est un rectangle de 2ᵏ cases ; les cases de bord sont voisines des cases du bord opposé.
Réponse: Q = 8
Bascules et compteurs : une bascule ne change qu’au front actif de l’horloge. D copie son entrée (Q⁺ = D) ; T change d’état quand T = 1 ; JK conserve pour 00, remet à 0 pour 01, met à 1 pour 10 et change d’état pour 11. Un compteur binaire de n bits a 2ⁿ états et compte modulo 2ⁿ ; un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0, et exige le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N bascules. Chaque étage d’un compteur asynchrone divise la fréquence par deux, donc la dernière sortie d’un compteur modulo N tourne à fclk/N. Un compteur Johnson de n bascules a 2n états, un compteur en anneau n.
Toutes les 12 impulsions ramènent le compteur au même état.
Réponse: 4−1 mod 19 = 5
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Chaque reste r s’écrit r ≡ t·4 (mod 19).
Réponse: c = 261
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.
Réponse: B · Exponentielle
L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).
Réponse: C · C'est NP-difficile
Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.
Réponse: B · 4 5 2 3 1
Le parcours postfixe traite 4 et 5 avant 2, puis 3, et enfin la racine 1.
Réponse: D · Préfixe et infixe
Le parcours préfixe donne la racine, et sa position dans la séquence infixe sépare les sous-arbres gauche et droit ; préfixe et postfixe sont ambigus lorsqu'un nœud a un seul enfant.
Réponse: L = 8
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.
Réponse: d(F) = 4
Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.
Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.
Réponse: B · L'isolation
L'isolation sépare les transactions concurrentes ; les niveaux d'isolation déterminent avec quelle rigueur elle est appliquée.
Réponse: C · Fait référence à des colonnes de la requête externe et est évaluée pour chaque ligne externe
Les sous-requêtes corrélées dépendent de la ligne externe courante ; elles sont donc logiquement évaluées ligne par ligne (les optimiseurs peuvent les réécrire en jointures).
Réponse: D · Confidentialité, intégrité et authentification du serveur
TLS chiffre le trafic, détecte les altérations et authentifie le serveur à l'aide de certificats (éventuellement le client aussi).
Réponse: C · Pour que les segments retardés disparaissent et que l'ACK final puisse être renvoyé s'il a été perdu
TIME_WAIT garantit qu'un ACK final perdu peut être répété et que les anciens segments dupliqués expirent avant la réutilisation du même couple adresse-port.
Réponse: H = 14
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
Réponse: x = 127
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
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