Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Positionnez les bits pour qu’ils représentent −80 en complément à deux sur 8 bits. Lu comme un nombre non signé, quelle est la valeur U du motif ?
Une image non compressée fait 1024 × 768 pixels avec 8 bits par pixel. Quelle mémoire M occupe-t-elle, en Kio (1 Kio = 1024 octets) ?
Quelle formule est logiquement équivalente à ¬(c ↔ b) ? Cliquez dessus.
Les prémisses p ∨ q; ¬p ∨ r sont données. Quelle conclusion en découle ? Cliquez dessus.
Dans ce tableau de Karnaugh, exactement un 1 n’a aucun 1 voisin, donc il reste un groupe d’une seule case (un minterme complet de quatre littéraux) dans la forme SOP minimale. Les voisins de part et d’autre des bords du tableau comptent. Cliquez sur cette case.
Trouvez la forme SOP minimale de F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 10, 11, 13, 15) + d(1, 12, 14), où d marque les états indifférents. Combien de termes produits N a-t-elle ?
Résolvez 20x ≡ 14 (mod 31). Donnez la solution x avec 0 < x < 31.
Chiffre le message m = 811 avec la clé publique RSA (n, e) = (1763, 19). Trouvez le chiffré c.
Comment l'algorithme de Prim construit-il un arbre couvrant de poids minimal ?
Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?
Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?
Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?
Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.
L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet A. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 6.
Pourquoi SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 échoue-t-il dans la plupart des bases de données ?
Quelle fonction de fenêtrage attribue 1, 2, 3, ... aux lignes de chaque partition, sans ex æquo ?
Que précise un enregistrement MX dans le DNS ?
Quel est le principal avantage des connexions persistantes (keep-alive) en HTTP/1,1 ?
Un service a besoin de 612 adresses d'hôte dans un seul sous-réseau. Quelle est la plus grande longueur de préfixe p (le plus petit sous-réseau) suffisante ?
Un hôte a l'adresse 10.20.200.75/26. Quel est le quatrième octet x de son adresse réseau ?
Réponse: U = 176
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
Réponse: M = 768 KiB
Systèmes de numération positionnels : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base. En binaire les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … ; en hexadécimal 1, 16, 256, …, avec A–F pour 10–15. En complément à deux sur 8 bits, le bit de gauche vaut −128 au lieu de +128 : c'est ainsi qu'on stocke les nombres négatifs.
Réponse: c ↔ ¬b
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Les colonnes après la barre sont les options dans l’ordre affiché.
Réponse: q ∨ r
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Réponse: AB = 11, CD = 11
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Un 1 ayant un 1 voisin peut rejoindre un groupe de deux ou plus.
Réponse: N = 3
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Les plus grands groupes pouvant être formés de 1 et de X.
Réponse: x = 10
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Réponse: c = 1198
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.
Réponse: A · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
L'algorithme de Prim, avec une file de priorité des arêtes sortantes, s'exécute en O(E log V) avec un tas binaire.
Réponse: D · C'est NP-difficile
Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.
Réponse: D · O(log n)
Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.
Réponse: A · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.
Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.
Réponse: arête DE
Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.
Réponse: B · WHERE est évalué avant la liste du SELECT, donc l'alias n'existe pas encore
Logiquement, FROM et WHERE s'exécutent avant SELECT ; il faut donc répéter l'expression dans WHERE ou utiliser une sous-requête. ORDER BY peut utiliser l'alias, car il s'exécute après SELECT.
Réponse: B · ROW_NUMBER()
ROW_NUMBER attribue des numéros séquentiels uniques ; RANK laisse des trous après les ex æquo ; DENSE_RANK non.
Réponse: B · Les serveurs de messagerie qui acceptent le courrier d'un domaine
Les enregistrements MX (mail exchange) listent les serveurs de messagerie avec leurs priorités, afin que les serveurs expéditeurs sachent où livrer le courrier de ce domaine.
Réponse: D · Plusieurs requêtes réutilisent une même connexion TCP, évitant des poignées de main répétées
Réutiliser une connexion évite une nouvelle poignée de main et un nouveau démarrage lent pour chaque objet ; les pages comportant de nombreuses ressources se chargent donc plus vite.
Réponse: p = 22
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
Réponse: x = 64
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
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