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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €6 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 4 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 9 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €6 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €475 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €4754,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €250 000 aujourd’hui. Il génère €20 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 2 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €250 000CF1 = €20 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui. Son flux vaut €15 000 à la fin de l’année 1 et croît de 5 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 4. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF1 = €15 000g = 5%n = 4r = 12%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €865. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €865
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,8D/E = 0,5T = 25%rf = 4%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit se vend €16 l'unité avec un coût variable de €12 par unité. Les coûts fixes sont de €20 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €10 000 ?
F = €20 000p = €16v = €12bénéfice = €10 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €14 avec un coût variable de €8 ; le produit B se vend €50 avec un coût variable de €30. Ils se vendent dans une proportion fixe de 5 unités de A pour 2 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €56 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €14, vA = €8pB = €50, vB = €30A : B = 5 : 2F = €56 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 120000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0035/475 = 0,8158
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8158)/ln(1,004) = 58,27
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
58 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 59
Réponse
N = 59 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 83333 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 20 000/(0,08 − 0,02) = 333 333,33
NPV
NPV = 333 333,33 − 250 000 = €83 333,33
Réponse
NPV = €83 333,33
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −1245 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1210 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,0125, N = 10
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €327,09
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,8832 = €883,18
Prix
P = €1 210,27
Réponse
P = €1 210,27
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 8,013 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€865 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Résoudre numériquement
P(8%) = €865,80, P(9%) = €807,47
YTM = 8,013%
Réponse
YTM = 8,013%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,727 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·14% + 0,4545·3%·(1 − 0,2) = 8,727%
Réponse
WACC = 8,727%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 11,15 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,8·(1 + 0,75·0,5) = 1,1
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,1·6,5% = 11,15%
Réponse
re = 11,15%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 7500 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.