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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 22 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 22%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités constantes sur 5 ans à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €15 0006% / 12N = 60
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €22 000, €19 000, €20 000, €17 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €19 500, €29 000, €15 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 29 000CF3 = 15 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €1 025 avec un taux de rendement actuariel de 4% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 12 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 75 points de base.
P0 = €1 025y = 4%D = 12Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €4 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,8D/E = 1T = 20%rf = 1,5%rm − rf = 7%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit se vend €20 avec un coût variable de €15 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €6 000 par mois et le bénéfice est imposé à 20 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €2 500 après impôt ?
p = €20v = €15F = €6 000T = 20%bénéfice après impôt = €2 500
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €11 avec un coût variable de €5 ; le produit B se vend €33 avec un coût variable de €25. Ils se vendent dans une proportion fixe de 2 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €12 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €11, vA = €5pB = €33, vB = €25A : B = 2 : 1F = €12 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 23,88 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,22/4 = 0,055
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,055)4 − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%
Réponse
EAR = 23,88%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 2400 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,005, N = 60
A = 15 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−60) = €289,99
Total des intérêts
I = N·A − P = 60·290 − 15 000 = €2 399,52
Réponse
I = €2 399,52
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 22923 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 22 000/1,06 = 20 754,72
CF2/(1 + 0,06)2 = 19 000/1,124 = 16 909,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 20 000/1,191 = 16 792,39
CF4/(1 + 0,06)4 = 17 000/1,262 = 13 465,59
Additionner
NPV = €22 922,63
Réponse
NPV = €22 922,63
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 28,58 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 2 096,00
NPV(30%) = −785,16
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €22,50, i = 0,0125, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€22,50·(1 − 0,9282)/0,0125 = €129,29
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,9282 = €928,17
Prix
P = €1 057,46
Réponse
P = €1 057,46
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1114 €
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 12/1,04 = 11,54
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −11,54·(−0,0075) = 8,654%
P ≈ 1025·(1 + 0,08654) = €1 113,70
Réponse
P = €1 113,70
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,259 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·9% + 0,6·3,5%·(1 − 0,21) = 5,259%
Réponse
WACC = 5,259%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 11,58 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,8·(1 + 0,8·1) = 1,44
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,44·7% = 11,58%
Réponse
re = 11,58%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 1825 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Bénéfice avant impôt nécessaire
2 500/(1 − 0,2) = €3 125
Unités nécessaires
Q = (6 000 + 3 125)/5 = 1 825
Réponse
Q = 1 825 unités
10.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 1800 unités
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.