Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Vous placez €1 000 à 8 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 11 ans.

PV = €1 000r = 8%t = 11

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 15 ans à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?

P = €150 0007,2% / 12N = 180

I = €

3.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €30 000 aujourd’hui. Elle génère €5 500 à la fin de chaque année pendant 8 ans et peut ensuite être revendue €6 000. Le coût du capital est de 6 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €30 000CF = €5 500S = €6 000n = 8r = 6%

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €13 000, €14 500, €7 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 500CF₃ = 7 000

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 9%n = 9

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €870. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 8%n = 8P = €870

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 12%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 4 000 000 actions à €14,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €15 000 par an et un coût variable de €12 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €18 200 par an et un coût variable de €8 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?

F_A = €15 000v_A = €12F_B = €18 200v_B = €8

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend 10 000 unités à €28 chacune, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €80 000. De quel pourcentage %ΔΠ le résultat d’exploitation varie-t-il si le volume des ventes baisse de 20 % ?

Q = 10 000p = €28v = €8F = €80 000%ΔQ = −20%

%ΔΠ = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 2411 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Exposant

r·t = 0,08·11 = 0,88

e^0,88 = 2,411

Valeur future

FV = 1 000·2,411 = €2 410,90

Réponse

FV = €2 410,90

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: I = 95713 €

Mensualité

i = 0,006, N = 180

A = 150 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻¹⁸⁰) = €1 365,07

Total des intérêts

I = N·A − P = 180·1365 − 150 000 = €95 712,62

Réponse

I = €95 712,62

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 7918 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle des flux annuels

5 500·6,21 = 34 153,87

Valeur actuelle de la valeur résiduelle

6 000/1,594 = 3 764,47

NPV

NPV = −30 000 + 34 153,87 + 3 764,47 = €7 918,34

Réponse

NPV = €7 918,34

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 36,74 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(35%) = 430,83

NPV(40%) = −765,31

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 35 + 5·430,83/(430,83 − (−765,31)) = 36,8%

exact: NPV(36,74%) = 0 → IRR = 36,74%

Réponse

IRR = 36,74%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 696 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €20,00, i = 0,045, N = 18

Valeur actuelle des coupons

€20,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €243,20

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,4528 = €452,80

Prix

P = €696,00

Réponse

P = €696,00

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 10,48 %

Équation du rendement

€870 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Résoudre numériquement

P(10%) = €893,30, P(11%) = €845,62

YTM = 10,48%

Réponse

YTM = 10,48%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,4 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·5%·(1 − 0,28) = 8,4%

Réponse

WACC = 8,4%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,295 %

Valeurs de marché

E = 4 000 000·€14,50 = €58 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·4,5% = 9,85%

Pondérations

V = €79 000 000, E/V = 0,7342, D/V = 0,2658

WACC

WACC = 0,7342·9,85% + 0,2658·5%·(1 − 0,2) = 8,295%

Réponse

WACC = 8,295%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 800 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Coûts totaux égaux

15 000 + 12Q = 18 200 + 8Q

Isoler Q

Q = (18 200 − 15 000)/(12 − 8) = 800

Réponse

Q = 800 unités

En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.

10.Seuil de rentabilité

Réponse: %ΔΠ = −33,33 %

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable et bénéfice

CM = 10 000·20 = €200 000

Π = 200 000 − 80 000 = €120 000

DOL

DOL = 200 000/120 000 = 1,667

Variation du bénéfice

%ΔΠ = 1,667·(−20%) = −33,33%

Réponse

%ΔΠ = −33,33%

Vérification : nouveau bénéfice = 8 000·20 − 80 000 = €80 000,00.

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