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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €12 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 4 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 9 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €12 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €20 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €20 0003% / 12N = 60
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €250 000 aujourd’hui. Il génère €12 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 3 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 9 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €250 000CF1 = €12 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 et rapporte €33 500, €37 000, €33 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 33 500CF2 = 37 000CF3 = 33 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 3 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €933 quand le taux de rendement actuariel est de 5,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 3P = €933YTM = 5,5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 15 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) se vend €1 151. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 070. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 151prix de remboursement anticipé = €1 070remboursement anticipé dans 6 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €6 000 000 et une dette valant €4 000 000. Son WACC est de 7,92%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €25,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €37 500 000. Elle vient de verser un dividende de €2,20 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €75 000 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un produit se vend €10 avec un coût variable de €6 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €20 000 par mois et le bénéfice est imposé à 25 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €6 000 après impôt ?
p = €10v = €6F = €20 000T = 25%bénéfice après impôt = €6 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €25 l'unité, avec un coût variable de €20 par unité et des coûts fixes de €7 500 par an. Les ventes prévues sont de 2 400 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €7 500p = €25v = €20prévision = 2 400
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 240000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 20 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €359,37
Réponse
A = €359,37
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −50000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 12 000/(0,09 − 0,03) = 200 000,00
NPV
NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00
Réponse
NPV = −€50 000,00
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 47,5 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(45%) = 1 526,10
NPV(50%) = −1 444,44
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,055)−3 = €851,61
Coupon
C = (933 − 851,61)/2,698 = €30,17
Taux du coupon
c = 30,17/1000 = 3,017%
Réponse
c = 3,017%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 5,048 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1151 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Résoudre numériquement
y = 5%: €1 153,75
y = 6%: €1 098,52
YTC = 5,048%
Réponse
YTC = 5,048%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,496%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 10 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Part de la dette dans le WACC
0,4·6%·(1 − 0,2) = 1,92%
Coût des capitaux propres
re = (7,92% − 1,92%)/0,6 = 10%
Réponse
re = 10%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,59 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Bénéfice avant impôt nécessaire
6 000/(1 − 0,25) = €8 000
Unités nécessaires
Q = (20 000 + 8 000)/4 = 7 000
Réponse
Q = 7 000 unités
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 37,5 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).