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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €2 000 à un taux nominal de 3 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 3 ans.
PV = €2 0003% / 4n = 3
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 20 ans à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 6 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €150 0003% / 12N = 240k = 72
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €7 000, €8 000, €7 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un investissement de €50 000 rapporte €9 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €50 000CF = €9 500n = 6
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 5 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 2%) quand son taux de rendement actuariel est de 2,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 2%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 2%n = 5y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 100. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 6P = €1 100
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €6 000 000, des actions privilégiées valant €1 500 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 9%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €8 000 000 et un coût des capitaux propres de 10%. Sa dette se compose de 4 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%, 6 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 024 chacune. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Un produit se vend €19 avec un coût variable de €15 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €20 000 par mois et le bénéfice est imposé à 20 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €6 000 après impôt ?
p = €19v = €15F = €20 000T = 20%bénéfice après impôt = €6 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €9 avec un coût variable de €5 ; le produit B se vend €22 avec un coût variable de €10. Ils se vendent dans une proportion fixe de 2 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €20 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €9, vA = €5pB = €22, vB = €10A : B = 2 : 1F = €20 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 2188 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,0025, N = 240
A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−240) = €831,90
Valeur actuelle des versements restants
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 240 − 72 = 168
B = 831,9·(1 − (1 + 0,0025)−168)/0,0025 = €114 005,98
Réponse
B = €114 005,98
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −756,3 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 7 000/1,07 = 6 542,06
CF2/(1 + 0,07)2 = 8 000/1,145 = 6 987,51
CF3/(1 + 0,07)3 = 7 000/1,225 = 5 714,09
Additionner
NPV = €−756,35
Réponse
NPV = €−756,35
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 3,877 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−6)/i = 50 000/9 500 = 5,263
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 3%: 5,417
i = 4%: 5,242
IRR = 3,877%
Réponse
IRR = 3,877%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 4,426 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 100 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(5%) = €1 152,27, P(6%) = €1 098,35
YTM = 5,968%
Réponse
YTM = 5,968%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,756 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Bénéfice avant impôt nécessaire
6 000/(1 − 0,2) = €7 500
Unités nécessaires
Q = (20 000 + 7 500)/4 = 6 875
Réponse
Q = 6 875 unités
10.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 3000 unités
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.