Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.
1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une annuité verse €2 000 à la fin de chaque année pendant 6 ans. Le taux d’intérêt est de 6 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €2 000i = 6%n = 6
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €250 000 est remboursé par mensualités égales sur 25 ans. Le taux d'intérêt est de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €250 0003% / 12N = 300
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €250 000 aujourd’hui. Il génère €12 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 3 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 9 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €250 000CF1 = €12 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Le projet A coûte €20 000 et rapporte €11 500, €8 000, €4 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €22 000 et rapporte €6 000, €9 000, €12 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% et arrive à échéance dans 4 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5,5% à 6%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 3%n = 4y1 = 5,5%y2 = 6%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) se vend €1 215. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 080. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 215prix de remboursement anticipé = €1 080remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €4 000 000 et une dette de €5 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 4 000 000 actions à €22,00 chacune et 40 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 8%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit se vend €24 l'unité avec un coût variable de €4 par unité. Les coûts fixes sont de €50 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €5 000 ?
F = €50 000p = €24v = €4bénéfice = €5 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €16 avec un coût variable de €8 ; le produit B se vend €40 avec un coût variable de €25. Ils se vendent dans une proportion fixe de 4 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €14 100 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €16, vA = €8pB = €40, vB = €25A : B = 4 : 1F = €14 100
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 9835 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,705)/0,06 = 4,917
Valeur actuelle
PV = 2 000·4,917 = €9 834,65
Réponse
PV = €9 834,65
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 1186 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·25 = 300
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,4728
A = 250 000·0,0025/(1 − 0,4728) = €1 185,53
Réponse
A = €1 185,53
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −50000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 12 000/(0,09 − 0,03) = 200 000,00
NPV
NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00
Réponse
NPV = −€50 000,00
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: r* = 8,809 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 500 = −5 500
ΔCF2 = 9 000 − 8 000 = 1 000
ΔCF3 = 12 500 − 4 500 = 8 000
TRI de la différence
NPVΔ(8%) = 115,40
NPVΔ(9%) = −26,72
r* = 8,809%
Réponse
r* = 8,809%
Vérification : à 8,809%, les deux VAN valent €819,32.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = −16,32 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1215 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 4%: €1 243,83
y = 5%: €1 192,57
YTC = 4,556%
Réponse
YTC = 4,556%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,505%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,753 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.