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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €1 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 7 ans.
PV = €1 0003,6% / 4n = 7
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités égales sur 25 ans. Le taux d'intérêt est de 5,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €200 0005,4% / 12N = 300
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui. Elle génère €17 500 à la fin de chaque année pendant 3 ans et peut ensuite être revendue €5 000. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF = €17 500S = €5 000n = 3r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Son flux vaut €25 500 à la fin de l’année 1 et croît de 3 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 7. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €200 000CF1 = €25 500g = 3%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 6 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €975 quand le taux de rendement actuariel est de 5,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 6P = €975YTM = 5,5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €930 avec un taux de rendement actuariel de 5% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 9,8 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 100 points de base.
P0 = €930y = 5%D = 9,8Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,4. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
D/E = 0,4re = 8%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €46,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €55 200 000. Elle vient de verser un dividende de €2,00 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €55 200 000 et un coût avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un produit se vend €25 l'unité avec un coût variable de €15 par unité. Les coûts fixes sont de €20 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €10 000 ?
F = €20 000p = €25v = €15bénéfice = €10 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €23 l'unité, avec un coût variable de €20 par unité et des coûts fixes de €6 000 par an. Les ventes prévues sont de 3 200 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €6 000p = €23v = €20prévision = 3 200
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 1285 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·25 = 300
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,26
A = 200 000·0,0045/(1 − 0,26) = €1 216,26
Réponse
A = €1 216,26
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −4409 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle des flux annuels
17 500·2,402 = 42 032,05
Valeur actuelle de la valeur résiduelle
5 000/1,405 = 3 558,90
NPV
NPV = −50 000 + 42 032,05 + 3 558,90 = −€4 409,05
Réponse
NPV = −€4 409,05
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −65622 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 5 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,055)−6 = €725,25
Coupon
C = (975 − 725,25)/4,996 = €50,00
Taux du coupon
c = 50/1000 = 5%
Réponse
c = 5%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 843,2 €
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 9,8/1,05 = 9,333
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −9,333·(0,01) = −9,333%
P ≈ 930·(1 − 0,09333) = €843,20
Réponse
P = €843,20
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,357 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·8% + 0,2857·3%·(1 − 0,25) = 6,357%
Réponse
WACC = 6,357%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,328 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).