Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €3 000 à un taux nominal de 6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 10 ans.

PV = €3 0006% / 4n = 10

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €6 000 au début de chaque année pendant 23 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 3 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 23 ? Trouvez FV.

A = €6 000i = 3%n = 23

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 6 ans et coûte €5 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 12 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €40 000M = €5 000n = 6r = 12%

EAC = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €10 000 et rapporte €5 000, €4 000, €4 000 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 10 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 000CF₃ = 4 000

MIRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 11 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €865 quand le taux de rendement actuariel est de 3,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 11P = €865YTM = 3,5%

c = %

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €895. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €895

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.

D/E = 0,75r_e = 14%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,1. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e avec la nouvelle structure du capital.

β_U = 1,1D/E = 1,5T = 28%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €25 000 par an et un coût variable de €18 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €29 500 par an et un coût variable de €15 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?

F_A = €25 000v_A = €18F_B = €29 500v_B = €15

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €51 l'unité, avec un coût variable de €45 par unité et des coûts fixes de €7 200 par an. Les ventes prévues sont de 1 380 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €7 200p = €51v = €45prévision = 1 380

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 5442 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·10 = 40

Valeur future

FV = 3 000·(1 + 0,015)⁴⁰ = 3 000·1,814 = €5 442,06

Réponse

FV = €5 442,06

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 200559 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,03)²³ − 1)/0,03 = 32,45

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 6 000·32,45·1,03 = €200 558,82

Réponse

FV = €200 558,82

3.VAN et TRI

Réponse: EAC = 14729 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,12⁻⁶)/0,12 = 4,111

Prix d’achat annualisé

40 000/4,111 = 9 729,03

EAC

EAC = 9 729,03 + 5 000 = €14 729,03

Réponse

EAC = €14 729,03

4.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 13,05 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

5 000·1,1² = 6 050,00

4 000·1,1¹ = 4 400,00

4 000·1,1⁰ = 4 000,00

TV = 14 450,00

MIRR

MIRR = (14 450,00/10 000)^1/3 − 1 = 13,05%

Réponse

MIRR = 13,05%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 2 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,035)⁻¹¹ = €684,95

Coupon

C = (865 − 684,95)/9,002 = €20,00

Taux du coupon

c = 20/1000 = 2%

Réponse

c = 2%

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 6,529 %

Équation du rendement

€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Résoudre numériquement

P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99

YTM = 6,529%

Réponse

YTM = 6,529%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,446 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·14% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,25) = 9,446%

Réponse

WACC = 9,446%

8.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 10,65 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Bêta endetté

β_L = 1,1·(1 + 0,72·1,5) = 2,288

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 1,5% + 2,288·4% = 10,65%

Réponse

r_e = 10,65%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 1500 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Coûts totaux égaux

25 000 + 18Q = 29 500 + 15Q

Isoler Q

Q = (29 500 − 25 000)/(18 − 15) = 1 500

Réponse

Q = 1 500 unités

En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 13,04 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 7 200/6 = 1 200

Marge de sécurité

MS = (1 380 − 1 200)/1 380·100 = 13,04%

Réponse

MS = 13,04%

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