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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €20 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0005% / 4n = 4
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €500 à la fin de chaque mois pendant 26 ans. Le compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €5006% / 12N = 312
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Il génère €14 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 2 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €200 000CF1 = €14 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un investissement de €10 000 rapporte €2 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €10 000CF = €2 500n = 6
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 9%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Elle se vend €973. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 3P = €973
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €4 000 000, des actions privilégiées valant €1 500 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 10%, le coût des actions privilégiées de 6% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC.
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,2. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 6%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Une entreprise vend 2 000 unités à €50 chacune. Le coût variable est de €30 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €16 000. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.
Q = 2 000p = €50v = €30F = €16 000
DOL =
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €17 avec un coût variable de €12 ; le produit B se vend €45 avec un coût variable de €30. Ils se vendent dans une proportion fixe de 4 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €21 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €17, vA = €12pB = €45, vB = €30A : B = 4 : 1F = €21 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 16395 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·4 = 16
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,22 = €16 394,93
Réponse
PV = €16 394,93
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 374036 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €156 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −25000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 14 000/(0,1 − 0,02) = 175 000,00
NPV
NPV = 175 000,00 − 200 000 = −€25 000,00
Réponse
NPV = −€25 000,00
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 12,98 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−6)/i = 10 000/2 500 = 4
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 12%: 4,111
i = 13%: 3,998
IRR = 12,98%
Réponse
IRR = 12,98%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 943,8 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,045, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €449,36
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,4945 = €494,47
Prix
P = €943,83
Réponse
P = €943,83
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,997 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, N = 6
Résoudre numériquement
i = 2,998% par semestre
YTM
YTM = 2·2,998% = 5,997%
Réponse
YTM = 5,997%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,513 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1/(1 + 0,79·0,2) = 0,8636
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,8636·(1 + 0,79·0,75) = 1,375
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,375·6% = 9,251%
Réponse
re = 9,251%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: DOL = 1,667
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.
Marge sur coût variable totale
CM = 2 000·(50 − 30) = €40 000
Résultat d’exploitation
Π = 40 000 − 16 000 = €24 000
DOL
DOL = 40 000/24 000 = 1,667
Réponse
DOL = 1,667
10.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 3000 unités
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.