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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €3 000 à un taux nominal de 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 9 ans.
PV = €3 0004,8% / 12n = 9
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €1 125 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €1 1257,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €9 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 1 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 1%r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €40 000 et rapporte €16 000, €26 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 16 000CF2 = 26 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 2%) quand son taux de rendement actuariel est de 5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 2%n = 10y0 = 5%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €1 055. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €4 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 4 000 000 actions à €20,50 chacune et 10 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 3% et la rentabilité du marché de 7%. Trouvez le WACC.
β = 1,2rf = 3%rm = 7%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €15 000 par an et un coût variable de €18 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €21 000 par an et un coût variable de €15 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?
FA = €15 000vA = €18FB = €21 000vB = €15
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €30 l'unité, avec un coût variable de €25 par unité et des coûts fixes de €5 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 200 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €5 000p = €30v = €25prévision = 1 200
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 4617 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,006/1125 = 0,8667
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
23 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 24
Réponse
N = 24 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −18182 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 9 000/(0,12 − 0,01) = 81 818,18
NPV
NPV = 81 818,18 − 100 000 = −€18 181,82
Réponse
NPV = −€18 181,82
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 3,815 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(0%) = 2 500,00
NPV(5%) = −725,62
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 055 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,054%
Réponse
YTM = 3,054%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,725 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,3) = 7,725%
Réponse
WACC = 7,725%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 4 000 000·€20,50 = €82 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3% + 1,2·4% = 7,8%
Pondérations
V = €92 000 000, E/V = 0,8913, D/V = 0,1087
WACC
WACC = 0,8913·7,8% + 0,1087·7%·(1 − 0,28) = 7,5%
Réponse
WACC = 7,5%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 2000 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coûts totaux égaux
15 000 + 18Q = 21 000 + 15Q
Isoler Q
Q = (21 000 − 15 000)/(18 − 15) = 2 000
Réponse
Q = 2 000 unités
En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 16,67 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).