Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €20 000 à un taux nominal de 4,8 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 9 ans.

PV = €20 0004,8% / 4n = 9

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €500 à la fin de chaque mois pendant 9 ans. Le compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €5006% / 12N = 108

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €11 500, €22 000, €19 500, €21 500 à la fin des années 1 à 4. Le coût du capital est de 10 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 11 500CF₂ = 22 000CF₃ = 19 500CF₄ = 21 500

DPB = ans

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €150 000 aujourd’hui. Son flux vaut €20 000 à la fin de l’année 1 et croît de 5 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 9. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €20 000g = 5%n = 9r = 10%

NPV = €

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 8%YTM = 2,5%n = 8

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 15 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 173. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 4 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%P = €1 173prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 4 ans

YTC = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €3 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.

E = €6 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €55,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €66 000 000. Elle vient de verser un dividende de €2,00 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €110 000 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 2 000 000P₀ = €55,00capitaux propres comptables = €66 000 000D₀ = €2,00g = 3%D = €110 000 000r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €35 l'unité avec un coût variable de €30 par unité. Les coûts fixes sont de €7 500 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €5 000 ?

F = €7 500p = €35v = €30bénéfice = €5 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €25 l'unité, avec un coût variable de €20 par unité et des coûts fixes de €12 500 par an. Les ventes prévues sont de 3 500 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €12 500p = €25v = €20prévision = 3 500

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 30728 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·9 = 36

Valeur future

FV = 20 000·(1 + 0,012)³⁶ = 20 000·1,536 = €30 727,59

Réponse

FV = €30 727,59

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 71370 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·9 = 108

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,714 − 1)/0,005 = €71 369,95

Réponse

FV = €71 369,95

Tu as versé toi-même €54 000 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,457 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 11 500/1,1 = 10 454,55 → Σ = 10 454,55

année 2: 22 000/1,21 = 18 181,82 → Σ = 28 636,36

année 3: 19 500/1,331 = 14 650,64 → Σ = 43 287,00

année 4: 21 500/1,464 = 14 684,79 → Σ = 57 971,79

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 6 713,00/14 684,79 = 3,457

Réponse

DPB = 3,457 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,846 ans).

4.VAN et TRI

Réponse: NPV = −13166 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de l’annuité croissante

((1,05)/(1,1))⁹ = 0,6579

PV = 20 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,6579) = 136 834,16

NPV

NPV = 136 834,16 − 150 000 = −€13 165,84

Réponse

NPV = −€13 165,84

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1397 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €40,00, i = 0,0125, N = 16

Valeur actuelle des coupons

€40,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €576,81

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,8197 = €819,75

Prix

P = €1 396,56

Réponse

P = €1 396,56

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 1,707 %

Équation du rendement

1173 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1050/(1 + y)⁴

Résoudre numériquement

y = 1%: €1 204,13

y = 2%: €1 160,42

YTC = 1,707%

Réponse

YTC = 1,707%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 3,498%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,6 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·6%·(1 − 0,2) = 7,6%

Réponse

WACC = 7,6%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 5,473 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 2·1,03 = €2,06

r_e = 2,06/55 + 0,03 = 6,745%

Valeurs de marché

E = 2 000 000·€55,00 = €110 000 000

V = €220 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·6,745% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 5,473%

Réponse

WACC = 5,473%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 2500 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 35 − 30 = €5

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (7 500 + 5 000)/5 = 2 500

Réponse

Q = 2 500 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 28,57 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 12 500/5 = 2 500

Marge de sécurité

MS = (3 500 − 2 500)/3 500·100 = 28,57%

Réponse

MS = 28,57%

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