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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €40 000 dans 5 ans. Un compte rapporte 4,8 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €40 0004,8% / 4n = 5
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €1 000 au début de chaque année pendant 25 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 8 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 25 ? Trouvez FV.
A = €1 000i = 8%n = 25
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €400 000 aujourd’hui. Il génère €29 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €400 000CF1 = €29 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Le projet A coûte €20 000 et rapporte €11 500, €8 000, €4 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €25 000 et rapporte €7 500, €10 500, €13 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 5%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% et arrive à échéance dans 4 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 2%n = 4YTM = 6%
D = ans
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €6 000 000 et une dette valant €2 000 000. Son WACC est de 7,94%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 1 000 000 actions cotant €16,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €4 800 000. Elle vient de verser un dividende de €0,90 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €8 000 000 et un coût avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un produit se vend €35 l'unité avec un coût variable de €25 par unité. Les coûts fixes sont de €10 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €6 000 ?
F = €10 000p = €35v = €25bénéfice = €6 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €11 avec un coût variable de €5 ; le produit B se vend €22 avec un coût variable de €10. Ils se vendent dans une proportion fixe de 4 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €18 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €11, vA = €5pB = €22, vB = €10A : B = 4 : 1F = €18 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 31510 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·5 = 20
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,269 = €31 510,10
Réponse
PV = €31 510,10
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 78954 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,08)25 − 1)/0,08 = 73,11
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 1 000·73,11·1,08 = €78 954,42
Réponse
FV = €78 954,42
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −37500 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 29 000/(0,12 − 0,04) = 362 500,00
NPV
NPV = 362 500,00 − 400 000 = −€37 500,00
Réponse
NPV = −€37 500,00
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: r* = 8,989 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −25 000 − (−20 000) = −5 000
ΔCF1 = 7 500 − 11 500 = −4 000
ΔCF2 = 10 500 − 8 000 = 2 500
ΔCF3 = 13 000 − 4 500 = 8 500
TRI de la différence
NPVΔ(8%) = 187,22
NPVΔ(9%) = −1,97
r* = 8,989%
Réponse
r* = 8,989%
Vérification : à 8,989%, les deux VAN valent €762,07.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 804,2 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €10,00, i = 0,025, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€10,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €130,55
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,6736 = €673,62
Prix
P = €804,17
Réponse
P = €804,17
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: D = 3,873 ans
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 20/1,06 = 18,87, t·PV = 18,87
t = 2: 20/1,124 = 17,80, t·PV = 35,60
t = 3: 20/1,191 = 16,79, t·PV = 50,38
t = 4: 1020/1,262 = 807,94, t·PV = 3 231,74
Duration
P = 861,40
D = 3 336,59/861,40 = 3,873
Réponse
D = 3,873 ans
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,007 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Part de la dette dans le WACC
0,25·6%·(1 − 0,21) = 1,185%
Coût des capitaux propres
re = (7,94% − 1,185%)/0,75 = 9,007%
Réponse
re = 9,007%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,061 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.