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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Vous placez €2 000 à 8 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 20 ans.
PV = €2 000r = 8%t = 20
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €200 à la fin de chaque mois pendant 9 ans. Le compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €2006% / 12N = 108
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €8 000, €5 000, €8 000. Le coût du capital est de 9 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Le projet A coûte €10 000 et rapporte €5 500, €4 000, €2 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €15 000 et rapporte €4 000, €6 000, €8 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Vous achetez une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) quand son taux de rendement actuariel est de 3%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 2,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 12y0 = 3%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 5%n = 3YTM = 4%
D = ans
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 0,6 a un rendement exigé de 4,2%. Le taux sans risque est de 1,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 0,6re = 4,2%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,1 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,5. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,5. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Un produit se vend €25 l'unité avec un coût variable de €15 par unité. Les coûts fixes sont de €10 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €5 000 ?
F = €10 000p = €25v = €15bénéfice = €5 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend 630 unités par mois à €26 chacune, avec un coût variable de €18 par unité et des coûts fixes de €4 000 par mois. Le coût variable augmente de €2 par unité et le prix reste le même. Combien d’unités Q faut-il désormais vendre par mois pour conserver le même bénéfice ?
Q = 630p = €26v = €18 → €20F = €4 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 9906 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,08·20 = 1,6
e1,6 = 4,953
Valeur future
FV = 2 000·4,953 = €9 906,06
Réponse
FV = €9 906,06
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 28548 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €21 600 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2275 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 8 000/1,09 = 7 339,45
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 8 000/1,295 = 6 177,47
Additionner
NPV = €−2 274,68
Réponse
NPV = €−2 274,68
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: r* = 8,594 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 500 − 2 500 = 6 000
TRI de la différence
NPVΔ(8%) = 88,78
NPVΔ(9%) = −59,69
r* = 8,594%
Réponse
r* = 8,594%
Vérification : à 8,594%, les deux VAN valent €408,94.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 7,404 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 50/1,04 = 48,08, t·PV = 48,08
t = 2: 50/1,082 = 46,23, t·PV = 92,46
t = 3: 1050/1,125 = 933,45, t·PV = 2 800,34
Duration
P = 1 027,75
D = 2 940,87/1 027,75 = 2,861
Réponse
D = 2,861 ans
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 6 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (4,2% − 1,5%)/0,6 = 4,5%
Rendement du marché
rm = 1,5% + 4,5% = 6%
Réponse
rm = 6%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 10,91 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,5) = 0,7857
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,7857·(1 + 0,8·1,5) = 1,729
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,729·4% = 10,91%
Réponse
re = 10,91%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 1500 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).