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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Vous placez €20 000 à 5 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 17 ans.
PV = €20 000r = 5%t = 17
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €30 000 est remboursé par mensualités constantes sur 6 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €30 0004,8% / 12N = 72
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 5 ans et coûte €5 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 5r = 10%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui. Son flux vaut €7 000 à la fin de l’année 1 et croît de 5 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 8. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF1 = €7 000g = 5%n = 8r = 12%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 8 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 5,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 6%n = 8y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €1 060. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 4P = €1 060
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €8 000 000 et une dette valant €3 000 000. Son WACC est de 8,16%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,75. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
Une entreprise vend 1 500 unités à €19 chacune. Le coût variable est de €4 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €7 500. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.
Q = 1 500p = €19v = €4F = €7 500
DOL =
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €15 avec un coût variable de €12 ; le produit B se vend €37 avec un coût variable de €25. Ils se vendent dans une proportion fixe de 3 unités de A pour 2 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €19 800 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €15, vA = €12pB = €37, vB = €25A : B = 3 : 2F = €19 800
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 46793 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,05·17 = 0,85
e0,85 = 2,34
Valeur future
FV = 20 000·2,34 = €46 792,94
Réponse
FV = €46 792,94
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 4587 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,004, N = 72
A = 30 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−72) = €480,37
Total des intérêts
I = N·A − P = 72·480,4 − 30 000 = €4 586,62
Réponse
I = €4 586,62
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 15552 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−5)/0,1 = 3,791
Prix d’achat annualisé
40 000/3,791 = 10 551,90
EAC
EAC = 10 551,90 + 5 000 = €15 551,90
Réponse
EAC = €15 551,90
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −9672 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de l’annuité croissante
((1,05)/(1,12))8 = 0,5967
PV = 7 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,5967) = 40 328,05
NPV
NPV = 40 328,05 − 50 000 = −€9 671,95
Réponse
NPV = −€9 671,95
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = −32,96 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(1%) = €1 078,04, P(2%) = €1 038,08
YTM = 1,445%
Réponse
YTM = 1,445%
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 10 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
Part de la dette dans le WACC
0,2727·4,5%·(1 − 0,28) = 0,8836%
Coût des capitaux propres
re = (8,16% − 0,8836%)/0,7273 = 10%
Réponse
re = 10%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 10,61 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,742·0,75) = 1,401
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 1,401·6,5% = 10,61%
Réponse
re = 10,61%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: DOL = 1,5
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.
Marge sur coût variable totale
CM = 1 500·(19 − 4) = €22 500
Résultat d’exploitation
Π = 22 500 − 7 500 = €15 000
DOL
DOL = 22 500/15 000 = 1,5
Réponse
DOL = 1,5
10.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 3000 unités
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.