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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Vous placez €10 000 à 5 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 11 ans.
PV = €10 000r = 5%t = 11
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €30 000 est remboursé par mensualités constantes sur 3 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €30 0004,8% / 12N = 36
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €9 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 11 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Le projet A coûte €40 000 et rapporte €20 500, €16 500, €9 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €42 000 et rapporte €11 000, €16 000, €23 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 12 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 051 quand le taux de rendement actuariel est de 2,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 12P = €1 051YTM = 2,5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 20 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 390. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 390prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,2. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 28%rf = 4%rm − rf = 4%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €25 000 par an et un coût variable de €18 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €27 000 par an et un coût variable de €14 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?
FA = €25 000vA = €18FB = €27 000vB = €14
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend 5 000 unités à €16 chacune, avec un coût variable de €6 par unité et des coûts fixes de €25 000. De quel pourcentage %ΔΠ le résultat d’exploitation varie-t-il si le volume des ventes augmente de 12 % ?
Q = 5 000p = €16v = €6F = €25 000%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 17333 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,05·11 = 0,55
e0,55 = 1,733
Valeur future
FV = 10 000·1,733 = €17 332,53
Réponse
FV = €17 332,53
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 2272 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,004, N = 36
A = 30 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−36) = €896,44
Total des intérêts
I = N·A − P = 36·896,4 − 30 000 = €2 271,68
Réponse
I = €2 271,68
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 28571 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 9 000/(0,11 − 0,04) = 128 571,43
NPV
NPV = 128 571,43 − 100 000 = €28 571,43
Réponse
NPV = €28 571,43
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: r* = 7,498 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 11 000 − 20 500 = −9 500
ΔCF2 = 16 000 − 16 500 = −500
ΔCF3 = 23 500 − 9 500 = 14 000
TRI de la différence
NPVΔ(7%) = 112,95
NPVΔ(8%) = −111,31
r* = 7,498%
Réponse
r* = 7,498%
Vérification : à 7,498%, les deux VAN valent €996,13.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 2,997 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,025)−12 = €743,56
Coupon
C = (1051 − 743,56)/10,26 = €29,97
Taux du coupon
c = 29,97/1000 = 2,997%
Réponse
c = 2,997%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 50 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1390 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 50%: €225,10
y = 50%: €225,10
YTC = 50%
Réponse
YTC = 50%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 2,499%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,875 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,5) = 1,632
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,632·4% = 10,53%
Réponse
re = 10,53%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 500 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coûts totaux égaux
25 000 + 18Q = 27 000 + 14Q
Isoler Q
Q = (27 000 − 25 000)/(18 − 14) = 500
Réponse
Q = 500 unités
En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.
10.Seuil de rentabilité
Réponse: %ΔΠ = 24 %
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.