Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €8 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 4 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 7 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.

C₁ = €8 000g = 4%r = 7%

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous empruntez €5 000 à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €150 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.

P = €5 000A = €1504,8% / 12

N = versements

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €60 000 aujourd’hui et rapporte €22 500, €26 500, €24 500, €12 500 à la fin des années 1 à 4. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 500CF₂ = 26 500CF₃ = 24 500CF₄ = 12 500

DPB = ans

4.VAN et TRIDifficile

Un investissement de €25 000 rapporte €5 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

C₀ = €25 000CF = €5 500n = 6

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 9%n = 8

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 025 avec un taux de rendement actuariel de 5% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 6,7 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 100 points de base.

P₀ = €1 025y = 5%D = 6,7Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 1,4 a un rendement exigé de 9,7%. Le taux sans risque est de 2%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 1,4r_e = 9,7%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €15 000 000 et un coût des capitaux propres de 13%. Sa dette se compose de 5 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%, 10 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €926 chacune. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.

E = €15 000 000r_e = 13%obligations: 5 000 × €926coupon = 5%n = 10T = 25%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Une entreprise vend 3 130 unités à €20 chacune. Le coût variable est de €15 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €12 500. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.

Q = 3 130p = €20v = €15F = €12 500

DOL =

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €12 l'unité, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €4 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 400 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €4 000p = €12v = €8prévision = 1 400

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 266667 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Rente perpétuelle croissante

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,07 − 0,04) = 8 000/0,03 = €266 666,67

Réponse

PV = €266 666,67

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: N = 36 versements

Réarranger la formule d’annuité

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,004/150 = 0,8667

Résoudre avec les logarithmes

N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85

Arrondir au nombre entier de versements supérieur

35 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.

N = 36

Réponse

N = 36 versements

3.VAN et TRI

Réponse: DPB = 2,846 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 22 500/1,08 = 20 833,33 → Σ = 20 833,33

année 2: 26 500/1,166 = 22 719,48 → Σ = 43 552,81

année 3: 24 500/1,26 = 19 448,89 → Σ = 63 001,70

Fraction de la dernière année

DPB = 2 + 16 447,19/19 448,89 = 2,846

Réponse

DPB = 2,846 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,449 ans).

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 8,559 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Facteur d’annuité requis

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 25 000/5 500 = 4,545

Trouver le taux

Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.

i = 8%: 4,623

i = 9%: 4,486

IRR = 8,559%

Réponse

IRR = 8,559%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 606,8 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,045, N = 16

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €112,34

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,4945 = €494,47

Prix

P = €606,81

Réponse

P = €606,81

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1090 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 6,7/1,05 = 6,381

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −6,381·(−0,01) = 6,381%

P ≈ 1025·(1 + 0,06381) = €1 090,40

Réponse

P = €1 090,40

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

7.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 7,5 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (9,7% − 2%)/1,4 = 5,5%

Rendement du marché

r_m = 2% + 5,5% = 7,5%

Réponse

r_m = 7,5%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 11 %

Coût de la dette (YTM)

926 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 6,006%

Valeurs de marché

D = 5 000·€926 = €4 630 000

V = €19 630 000, E/V = 0,7641, D/V = 0,2359

WACC

WACC = 0,7641·13% + 0,2359·6,006%·(1 − 0,25) = 11%

Réponse

WACC = 11%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: DOL = 4,968

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable totale

CM = 3 130·(20 − 15) = €15 650

Résultat d’exploitation

Π = 15 650 − 12 500 = €3 150

DOL

DOL = 15 650/3 150 = 4,968

Réponse

DOL = 4,968

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 28,57 %

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 4 000/4 = 1 000

Marge de sécurité

MS = (1 400 − 1 000)/1 400·100 = 28,57%

Réponse

MS = 28,57%

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