Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €50 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €50 0003,6% / 12n = 6

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 3 ans. Le taux d'intérêt est de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €12 0003% / 12N = 36

A = €

3.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €19 000, €21 000, €18 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 21 000CF₃ = 18 000

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €10 000, €13 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 500

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 3 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 2%) quand son taux de rendement actuariel est de 3%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 2,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 2%n = 3y₀ = 3%y₁ = 2,5%

HPR = %

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 15 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) se vend €1 141. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 080. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 8%P = €1 141prix de remboursement anticipé = €1 080remboursement anticipé dans 6 ans

YTC = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €10 000 000, des actions privilégiées valant €500 000 et une dette valant €5 000 000. Le coût des capitaux propres est de 14%, le coût des actions privilégiées de 7,5% et le coût de la dette avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 7,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 000 000 actions à €50,50 chacune et 10 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Une entreprise vend 960 unités à €49 chacune. Le coût variable est de €45 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €3 200. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.

Q = 960p = €49v = €45F = €3 200

DOL =

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €48 l'unité, avec un coût variable de €45 par unité et des coûts fixes de €4 500 par an. Les ventes prévues sont de 2 400 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €4 500p = €48v = €45prévision = 2 400

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 40300 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·6 = 72

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,241 = €40 299,79

Réponse

PV = €40 299,79

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 349 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,914

A = 12 000·0,0025/(1 − 0,914) = €348,97

Réponse

A = €348,97

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 7692 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 19 000/1,05 = 18 095,24

CF₂/(1 + 0,05)² = 21 000/1,103 = 19 047,62

CF₃/(1 + 0,05)³ = 18 000/1,158 = 15 549,08

Additionner

NPV = €7 691,93

Réponse

NPV = €7 691,93

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 10,88 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(10%) = 247,93

NPV(15%) = −1 096,41

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 10 + 5·247,93/(247,93 − (−1 096,41)) = 10,92%

exact: NPV(10,88%) = 0 → IRR = 10,88%

Réponse

IRR = 10,88%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = 3,977 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €20,00, i = 0,03, N = 3

€20,00·(1 − 0,9151)/0,03 + €1 000·0,9151 = €56,57 + €915,14 = €971,71

Prix de vente

C = €20,00, i = 0,025, N = 2

€20,00·(1 − 0,9518)/0,025 + €1 000·0,9518 = €38,55 + €951,81 = €990,36

Rendement sur la période de détention

HPR = (20 + 990,36 − 971,71)/971,71 = 3,977%

Réponse

HPR = 3,977%

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 6,25 %

Équation du rendement

1141 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

Résoudre numériquement

y = 6%: €1 154,74

y = 7%: €1 100,97

YTC = 6,25%

Réponse

YTC = 6,25%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 6,5%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,56 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 10 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €15 500 000

E/V = 0,6452, P_s/V = 0,03226, D/V = 0,3226

WACC

WACC = 0,6452·14% + 0,03226·7,5% + 0,3226·5%·(1 − 0,2) = 10,56%

Réponse

WACC = 10,56%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,577 %

Valeurs de marché

E = 2 000 000·€50,50 = €101 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·6,5% = 6,85%

Pondérations

V = €110 600 000, E/V = 0,9132, D/V = 0,0868

WACC

WACC = 0,9132·6,85% + 0,0868·5%·(1 − 0,258) = 6,577%

Réponse

WACC = 6,577%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: DOL = 6

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable totale

CM = 960·(49 − 45) = €3 840

Résultat d’exploitation

Π = 3 840 − 3 200 = €640

DOL

DOL = 3 840/640 = 6

Réponse

DOL = 6

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 37,5 %

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 4 500/3 = 1 500

Marge de sécurité

MS = (2 400 − 1 500)/2 400·100 = 37,5%

Réponse

MS = 37,5%

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