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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €2 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 2 ans.
PV = €2 0003,6% / 4n = 2
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €8 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €175 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €8 000A = €1757,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 6 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €4 000n = 6r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Le projet A coûte €30 000 et rapporte €17 000, €12 000, €7 000 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €40 000 et rapporte €11 500, €16 000, €21 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 14 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €835 quand le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 14P = €835YTM = 8%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €945. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 4P = €945
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €49,50 chacune et 10 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 0,6, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 7%. Trouvez le WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 7%rd = 7%T = 20%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €25 000 par an et un coût variable de €18 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €40 000 par an et un coût variable de €12 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?
FA = €25 000vA = €18FB = €40 000vB = €12
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €24 l'unité, avec un coût variable de €12 par unité et des coûts fixes de €18 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 800 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €18 000p = €24v = €12prévision = 1 800
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 2149 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = m·n = 4·2 = 8
Valeur future
FV = 2 000·(1 + 0,009)8 = 2 000·1,074 = €2 148,62
Réponse
FV = €2 148,62
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 54 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,006/175 = 0,7257
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,7257)/ln(1,006) = 53,59
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
53 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 54
Réponse
N = 54 versements
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 8067 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−6)/0,06 = 4,917
Prix d’achat annualisé
20 000/4,917 = 4 067,25
EAC
EAC = 4 067,25 + 4 000 = €8 067,25
Réponse
EAC = €8 067,25
4.VAN et TRI
Réponse: r* = 7,55 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 11 500 − 17 000 = −5 500
ΔCF2 = 16 000 − 12 000 = 4 000
ΔCF3 = 21 500 − 7 000 = 14 500
TRI de la différence
NPVΔ(7%) = 189,89
NPVΔ(8%) = −152,67
r* = 7,55%
Réponse
r* = 7,55%
Vérification : à 7,55%, les deux VAN valent €1 808,00.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 5,999 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,08)−14 = €340,46
Coupon
C = (835 − 340,46)/8,244 = €59,99
Taux du coupon
c = 59,99/1000 = 5,999%
Réponse
c = 5,999%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 4,534 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(4%) = €963,70, P(5%) = €929,08
YTM = 4,534%
Réponse
YTM = 4,534%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,32 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692
WACC
WACC = 0,9231·11% + 0,07692·3%·(1 − 0,3) = 10,32%
Réponse
WACC = 10,32%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 4,678 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coûts totaux égaux
25 000 + 18Q = 40 000 + 12Q
Isoler Q
Q = (40 000 − 25 000)/(18 − 12) = 2 500
Réponse
Q = 2 500 unités
En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 16,67 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).