Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à 120 km/h freine avec une décélération constante de 3 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance de freinage s.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 16 m/s depuis le bord d’un toit situé à 15 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Combien de temps après le lancer touche-t-elle le sol ? Trouvez t.
Un bloc de 7 kg descend en glissant une pente inclinée de 20° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,3. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
Un bloc de 7,5 kg sur une rampe inclinée de 20° est relié par un fil léger passant sur une poulie sans frottement en haut de la rampe à une masse suspendue de 4,5 kg. La masse suspendue descend. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la rampe vaut 0,1. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Une balle est lancée depuis un sol horizontal à 22 m/s et doit retomber à 15 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le plus petit des deux angles de tir possibles θ.
Une balle est lancée à 20° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 55 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une voiture prend un virage plat de 20 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,4. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.
Une bille de 1,6 kg au bout d’un fil léger de 1,4 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, sa vitesse vaut 10 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension Ttop du fil au point le plus haut.
Une voiture roulant à 100 km/h sur une route horizontale freine brusquement et dérape jusqu’à l’arrêt, roues bloquées. Le coefficient de frottement cinétique entre les pneus et la route vaut 0,4. Trouvez la distance de freinage d.
Un chariot de 1 kg est lâché sans vitesse initiale à une hauteur de 5,2 m sur une piste lisse qui mène à une boucle circulaire verticale de rayon 2 m. Trouvez la vitesse v du chariot au sommet de la boucle.
Une voiture de 1200 kg roulant à 7 m/s heurte une voiture de 1800 kg à l’arrêt et les deux restent accrochées. Quelle quantité d’énergie cinétique ΔK est perdue lors de la collision ?
Une voiture de 1300 kg heurte une voiture garée de 1000 kg. Les épaves restent accrochées et glissent sur 6 m avant de s’arrêter. Le coefficient de frottement cinétique entre les pneus et la route vaut 0,75. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v1 de la première voiture juste avant la collision.
Une barre mince homogène de masse 5 kg et de longueur 1,4 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez son accélération angulaire α juste après le lâcher.
Un corps (sphère creuse) part du repos et roule sans glisser sur une pente inclinée de 40° par rapport à l’horizontale. Utilisez g = 9,81 m/s². Son rayon est de 0,25 m. Trouvez sa vitesse angulaire ω après avoir roulé 9,5 m le long de la pente.
Deux arbres parallèles sont distants de 157,5 mm. Ils doivent être reliés par un engrenage à denture droite de module 5 mm avec un rapport de réduction de 2,5 : 1. Combien de dents N2 la roue doit-elle avoir ?
Une courroie ouverte relie une poulie de 150 mm et une poulie de 315 mm dont les centres sont distants de 500 mm. Trouvez l’angle d’enroulement θ sur la plus petite poulie, en degrés.
Une masse de 2,6 kg accrochée à un ressort de raideur k = 400 N/m est écartée de 10 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 0,45 s (avec son signe).
Une balle de 15 g se déplaçant à 300 m/s frappe un bloc de 1 kg posé sur une surface sans frottement et y reste logée. Le bloc est relié à un ressort horizontal de raideur k = 1600 N/m. Trouvez l’amplitude A de l’oscillation qui en résulte, en cm.
Une masse de 15 kg est portée par un ressort de raideur 8 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 350 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 20 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 50 kN/m et k₂ = 25 kN/m. La masse reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: s = 185,2 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: t = 4,022 s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Le haut est positif et le sol se trouve h₀ sous le point de départ.
Seule la racine positive a un sens physique.
Réponse: a = 0,5897 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: T = 39,62 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Réponse: θ = 8,85 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
L’autre solution est 90° − θ = 81,15°.
Réponse: t = 4,202 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: vmax = 8,859 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Ttop = 35,81 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
L’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle sur une hauteur de 2r.
La tension et la pesanteur sont toutes deux dirigées vers le bas, vers le centre.
Réponse: d = 98,32 m
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Doubler la vitesse rend la distance de freinage quatre fois plus longue.
Réponse: v = 4,852 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d). Sur une trajectoire circulaire, la force résultante vers le centre doit être égale à mv²/r.
Le chariot passe tout juste la boucle quand h = 2,5R ; alors N = 0 au sommet.
Réponse: ΔK = 17640 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
L’énergie perdue se transforme en déformation, en chaleur et en son.
Réponse: v1 = 16,62 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Réponse: α = 10,51 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
Réponse: ω = 33,91 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Roulement sans glissement : ω = v/r, et le frottement ne travaille pas au point de contact.
Réponse: N2 = 45
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Réponse: θ = 161 °
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: x = 7,638 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: A = 11,17 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,5052
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.
Réponse: fn = 9,746 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
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