Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à vitesse constante de 33 m/s dépasse une voiture de police à l’arrêt. À cet instant, la voiture de police démarre et accélère uniformément à 5 m/s². À quelle distance de son point de départ la voiture de police la rattrape-t-elle ? Trouvez d.
Une fusée miniature est lancée verticalement vers le haut sans vitesse initiale. Son moteur lui donne une accélération constante vers le haut de 38 m/s² pendant 3 s, après quoi le moteur s’arrête et la fusée se déplace librement. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax atteinte par la fusée.
Une caisse glisse sur un sol horizontal avec une vitesse initiale de 12 m/s et s’arrête après 29 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le coefficient de frottement cinétique μ.
On pousse un bloc de sorte qu’il commence à monter une rampe inclinée de 15° avec une vitesse de 5,5 m/s. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle distance d parcourt-il le long de la rampe avant de s’arrêter ?
Une balle est lancée à 30° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une balle est lancée à 25 m/s et 70° au-dessus de l’horizontale depuis le haut d’une falaise de 15 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale H au-dessus du sol au pied de la falaise.
Une voiture prend un virage plat de 60 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,8. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.
Une bille de 1,9 kg au bout d’un fil léger de 0,7 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, sa vitesse vaut 7,5 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension Ttop du fil au point le plus haut.
Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 25° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,2. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 13 m le long de la pente.
Un bloc de 10 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 3,5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 3,5 m (μ = 0,15) puis heurte un ressort (k = 1000 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la vitesse v du bloc quand il atteint le ressort.
Une voiture de 800 kg roulant à 24 m/s heurte une voiture de 800 kg à l’arrêt et les deux restent accrochées. Quelle quantité d’énergie cinétique ΔK est perdue lors de la collision ?
Une balle de 0,1 kg frappe un mur à 15 m/s et rebondit droit en arrière à 10 m/s. Le contact dure 10 ms. Trouvez l’intensité de l’impulsion J que le mur communique à la balle.
Une barre mince homogène de masse 2 kg et de longueur 1,2 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la force verticale R que l’articulation exerce sur la barre juste après le lâcher.
Un corps (sphère creuse) de masse 18 kg roule sans glisser à 3 m/s. Trouvez son énergie cinétique totale Ek.
Un moteur de 2,2 kW tournant à 1450 tr/min entraîne un pignon de 30 dents et de module 4 mm. Trouvez l’effort tangentiel Ft sur les dents du pignon.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (20 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 1440 rpm, entraîne la roue B (25 dents). La roue C (24 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (25 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie nout.
Un astronaute sur une autre planète constate qu’un pendule simple de 0,8 m de long a une période de 4,42 s pour de petites oscillations. Trouvez l’accélération de la pesanteur g sur cette planète.
Une balle de 15 g se déplaçant à 300 m/s frappe un bloc de 2,5 kg posé sur une surface sans frottement et y reste logée. Le bloc est relié à un ressort horizontal de raideur k = 600 N/m. Trouvez l’amplitude A de l’oscillation qui en résulte, en cm.
Une masse de 10 kg sur un ressort de raideur 2 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,35. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 25 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 12 kN/m et celui du bas k₂ = 40 kN/m. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: d = 435,6 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
À cet instant, la voiture de police roule à 2v = 66 m/s.
Réponse: hmax = 833,4 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Au sommet, la vitesse est nulle.
Réponse: μ = 0,2531
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: d = 3,411 m
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Les deux forces sont dirigées vers le bas de la pente ; la masse se simplifie.
Réponse: t = 1,223 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
Réponse: H = 43,13 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Réponse: vmax = 21,7 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Ttop = 59,48 N
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
L’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle sur une hauteur de 2r.
La tension et la pesanteur sont toutes deux dirigées vers le bas, vers le centre.
Réponse: v = 7,846 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
Réponse: v = 7,64 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: ΔK = 115200 J
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
L’énergie perdue se transforme en déformation, en chaleur et en son.
Réponse: J = 2,5 N·s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: R = 4,905 N
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
R = m·g/4, indépendant de la longueur.
Réponse: Ek = 135 J
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Réponse: Ft = 241,5 N
Géométrie des engrenages : le module m fixe la taille des dents. Une roue à N dents a un diamètre primitif d = m·N, deux roues qui engrènent ont le même module, et leur entraxe vaut a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La vitesse sur le cercle primitif vaut v = π·d·n/60, et l’effort tangentiel sur la denture découle du couple : Ft = 2T/d.
Réponse: nout = 1106 rpm
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
rapport total = 1,302 : 1
Réponse: g = 1,617 m/s²
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: A = 11,58 cm
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: fd = 2,108 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 3,058 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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