Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Un avion a besoin d’une vitesse de 240 km/h pour décoller et la piste utilisable mesure 2300 m. En partant du repos, quelle accélération constante a lui faut-il ?
La balle A est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 45 m. Au même instant, la balle B est lancée verticalement vers le haut depuis le sol, juste en dessous, à 26 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y au-dessus du sol se croisent-elles ?
Une caisse glisse sur un sol horizontal avec une vitesse initiale de 6,5 m/s et s’arrête après 5,4 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le coefficient de frottement cinétique μ.
On pousse un bloc de sorte qu’il commence à monter une rampe inclinée de 15° avec une vitesse de 4,5 m/s. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle distance d parcourt-il le long de la rampe avant de s’arrêter ?
Un ballon est frappé depuis un sol horizontal à 32 m/s et 50° au-dessus de l’horizontale en direction d’un mur situé à 41 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y le ballon passe-t-il au niveau du mur ?
Une balle est lancée à 15° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 10 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une voiture de 1600 kg passe sur le sommet d’une bosse de la route à 10 m/s. Le sommet de la bosse est un arc de cercle de rayon 40 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la réaction normale N de la route sur la voiture au sommet.
Une balle de 0,3 kg attachée à un fil de 1,3 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, elle se déplace à 4 m/s. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil au point le plus bas.
Un bloc de 2 kg glisse de 11 m sur une pente inclinée de 40° par rapport à l’horizontale, avec un coefficient de frottement dynamique de 0,3. Trouvez le travail Wf effectué contre le frottement.
Un bloc de 10 kg part du repos au bas d’une pente de 35° et est tiré vers le haut de la pente par une force constante de 165 N parallèle à la pente. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,3. Trouvez la vitesse v du bloc après qu’il a parcouru 8 m vers le haut de la pente.
Un mobile de 5 kg se déplaçant à 9 m/s subit un choc frontal parfaitement élastique avec un mobile de 3,5 kg au repos sur un rail sans frottement. Trouvez la vitesse v′1 du premier mobile après le choc (positive dans son sens initial).
Une balle de 15 g est tirée horizontalement dans un bloc de 1 kg suspendu à des fils légers de 1,4 m, et y reste logée. Les fils s’écartent jusqu’à un angle maximal de 25° par rapport à la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v de la balle avant l’impact.
Un volant d’inertie de moment d’inertie 38,5 kg·m² tourne à 2500 rpm. Un frein applique un couple de frottement constant de 160 N·m. Combien de tours N le volant fait-il avant de s’arrêter ?
Un corps (cerceau mince) de masse 18,5 kg roule sans glisser à 3,5 m/s. Quel pourcentage p de son énergie cinétique totale est de la rotation ?
Un moteur de 15 kW tournant à 1500 rpm entraîne un pignon de 24 dents, qui engrène avec une roue de 32 dents. Négligez les pertes. Trouvez le couple de sortie T2 sur l’arbre de la roue.
Dans un train épicycloïdal, le planétaire a 18 dents et chaque satellite a 18 dents. Le porte-satellites est maintenu fixe et le planétaire est entraîné à 3000 tr/min. Trouvez la vitesse de rotation nr de la couronne (valeur absolue).
Un astronaute sur une autre planète constate qu’un pendule simple de 1,1 m de long a une période de 3,42 s pour de petites oscillations. Trouvez l’accélération de la pesanteur g sur cette planète.
Une masse de 2,3 kg fixée à un ressort de raideur k = 30 N/m est écartée de 6 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez l’énergie totale E de l’oscillation.
Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 30 mm est suivi, 5 cycles plus tard, d’un pic de 6,2 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 5 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 40 kN/m et k₂ = 5 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
Réponse: a = 0,9662 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Réponse: y = 30,31 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Le haut est positif, le sol est en y = 0.
Réponse: μ = 0,3988
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Réponse: d = 2,063 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Les deux forces sont dirigées vers le bas de la pente ; la masse se simplifie.
Réponse: y = 29,37 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Le ballon est encore en train de monter au niveau du mur.
Réponse: t = 1,98 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: N = 11696 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Le sens vers le centre (vers le bas) est positif.
La voiture semble plus légère : la route pousse vers le haut moins que son poids.
Réponse: T = 6,635 N
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Vers le centre (vers le haut) est positif.
Réponse: Wf = 49,6 J
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: v = 11,64 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: v′1 = 1,588 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Résoudre ensemble la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie donne ces deux résultats.
Réponse: v = 108,6 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Réponse: N = 1312 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Réponse: p = 50 %
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La part ne dépend que de la forme, pas de la masse ni de la vitesse.
Réponse: T2 = 127,3 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: nr = 1000 rpm
Trains épicycloïdaux : les vitesses du planétaire, de la couronne et du porte-satellites sont liées par la formule de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns : vu du porte-satellites, le train est un train ordinaire dont les satellites sont des roues intermédiaires. Bloquer un élément transforme le train en réducteur à rapport unique.
Avec nc = 0, le planétaire entraîne la couronne par l’intermédiaire des satellites, qui jouent le rôle de roues intermédiaires.
La couronne tourne en sens inverse du planétaire.
Réponse: g = 3,713 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: E = 0,054 J
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,05012
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: keq = 45 kN/m
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
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