Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à 120 km/h freine avec une décélération constante de 8 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance de freinage s.
Une fusée miniature est lancée verticalement vers le haut sans vitesse initiale. Son moteur lui donne une accélération constante vers le haut de 38 m/s² pendant 2 s, après quoi le moteur s’arrête et la fusée se déplace librement. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Combien de temps après le lancement touche-t-elle le sol ? Trouvez t.
Un bloc de 3 kg descend en glissant une pente sans frottement inclinée de 40° par rapport à l’horizontale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
Un bloc de 10 kg posé sur une table horizontale est relié par un fil léger, passant sur une poulie sans frottement, à une masse suspendue de 3,5 kg. Le coefficient de frottement dynamique entre le bloc et la table vaut 0,1. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Une balle est lancée à 60° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une balle est lancée à 15° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 40 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la distance horizontale x parcourue avant que la balle touche le sol.
Une voiture prend un virage plat de 140 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,5. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.
Un virage de rayon 80 m est relevé de 25°, et le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,15. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse minimale vmin à laquelle une voiture peut prendre le virage sans glisser vers le bas du dévers.
Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 25° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,2. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 5 m le long de la pente.
Un bloc de 1 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 4 m (μ = 0,2) puis heurte un ressort (k = 2500 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Une voiture de 1000 kg roulant à 25 m/s heurte une voiture de 1000 kg à l’arrêt et les deux restent accrochées. Quelle quantité d’énergie cinétique ΔK est perdue lors de la collision ?
À un carrefour, une voiture de 1100 kg roulant vers l’est à 12 m/s entre en collision avec une voiture de 1100 kg roulant vers le nord à 23 m/s. Les voitures restent accrochées. Trouvez la vitesse v′ de l’épave juste après la collision.
Une barre mince homogène de masse 17 kg et de longueur 1,9 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la force verticale R que l’articulation exerce sur la barre juste après le lâcher.
Un corps (cerceau mince) de masse 4 kg roule sans glisser à 4 m/s. Quel pourcentage p de son énergie cinétique totale est de la rotation ?
Un moteur de 1,5 kW à 2900 tr/min entraîne une vis sans fin à 4 filet(s). La roue a 40 dents et la transmission a un rendement de 85 %. Trouvez le couple de sortie Tw sur l’arbre de la roue.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (18 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 1440 rpm, entraîne la roue B (60 dents). La roue C (18 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (50 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie nout.
Une masse de 2,8 kg accrochée à un ressort de raideur k = 190 N/m est écartée de 12 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 0,1 s (avec son signe).
Une masse de 1,4 kg est accrochée à l’extrémité inférieure d’un ressort vertical non tendu de raideur k = 400 N/m, puis lâchée sans vitesse initiale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax de la masse.
Une masse de 15 kg sur un ressort de raideur 5 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,45. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 20 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 5 kN/m et celui du bas k₂ = 50 kN/m. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: s = 69,44 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: t = 18,44 s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Résolvez −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² et prenez la racine positive.
Réponse: a = 6,306 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: T = 27,98 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: t = 3,884 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
Réponse: x = 95,34 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: vmax = 26,2 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: vmin = 15,23 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Le frottement est dirigé vers le haut de la pente.
Réponse: v = 4,866 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
Réponse: x = 18,16 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: ΔK = 156250 J
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
L’énergie perdue se transforme en déformation, en chaleur et en son.
Réponse: v′ = 12,97 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: R = 41,69 N
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
R = m·g/4, indépendant de la longueur.
Réponse: p = 50 %
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
La part ne dépend que de la forme, pas de la masse ni de la vitesse.
Réponse: Tw = 41,98 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: nout = 155,5 rpm
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
rapport total = 9,259 : 1
Réponse: x = 8,154 cm
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: vmax = 0,5804 m/s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
La vitesse est maximale à la position d’équilibre.
Réponse: fd = 2,595 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 2,399 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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