Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à vitesse constante de 27 m/s dépasse une voiture de police à l’arrêt. À cet instant, la voiture de police démarre et accélère uniformément à 5 m/s². Combien de temps faut-il à la voiture de police pour la rattraper ? Trouvez t.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 17 m/s depuis le bord d’un toit situé à 35 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax au-dessus du sol.
Des masses de 10 kg et 7 kg sont suspendues de part et d’autre d’une poulie légère sans frottement, reliées par un fil léger. Le système est lâché sans vitesse initiale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a des masses.
On pousse un bloc de sorte qu’il commence à monter une rampe inclinée de 25° avec une vitesse de 5,5 m/s. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle distance d parcourt-il le long de la rampe avant de s’arrêter ?
Une balle est lancée à 45° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la distance horizontale x parcourue avant que la balle touche le sol.
Une balle est lancée depuis le sol à 29 m/s et 65° au-dessus de l’horizontale. Elle retombe sur le toit plat d’un bâtiment de 25 m de haut, pendant sa descente. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la distance horizontale x entre le point de lancement et le point d’arrivée.
Un virage de rayon 290 m est relevé de 12°. À quelle vitesse v une voiture peut-elle le prendre sans avoir besoin d’aucun frottement ? Prenez g = 9,81 m/s².
Un chariot de 1,5 kg est lâché sans vitesse initiale à une hauteur de 14,4 m sur une piste sans frottement et parcourt une boucle verticale de rayon 3 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la réaction normale Nbottom de la piste sur le chariot au bas de la boucle.
Une bille de 5 kg est suspendue à un fil léger de longueur 0,5 m. On l’écarte jusqu’à ce que le fil fasse 60° avec la verticale, puis on la lâche sans vitesse initiale. Trouvez la tension T du fil quand la bille passe au point le plus bas.
Un chariot de 0,5 kg est lâché sans vitesse initiale à une hauteur de 16 m sur une piste lisse qui mène à une boucle circulaire verticale de rayon 5 m. Trouvez la réaction normale N exercée par la piste sur le chariot au sommet de la boucle.
Un projectile de 20 kg se déplaçant horizontalement à 37 m/s explose en deux fragments qui se déplacent sur la même droite. Le fragment de 12 kg continue vers l’avant à 64 m/s. Trouvez la vitesse v′2 du fragment de 8 kg (positive dans le sens initial).
À un carrefour, une voiture de 800 kg roulant vers l’est à 22 m/s entre en collision avec une voiture de 1600 kg roulant vers le nord à 12 m/s. Les voitures restent accrochées. Trouvez la direction θ de l’épave juste après la collision, mesurée vers le nord à partir de l’est.
Un bloc de 5 kg est suspendu à un câble léger enroulé sur une poulie, un disque plein homogène de masse 10 kg et de rayon 0,1 m qui tourne sur un axe horizontal sans frottement. Le bloc est lâché sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T dans le câble.
Une personne se tient sur un plateau tournant sans frottement et tient un haltère de 1 kg dans chaque main, à 0,7 m de l’axe. La personne et le plateau seuls ont un moment d’inertie de 4,5 kg·m² par rapport à l’axe. Ils tournent à 30 rpm, puis la personne rapproche les haltères à 0,3 m de l’axe. Considérez les haltères comme des masses ponctuelles. Trouvez la nouvelle vitesse n2 en rpm.
Un moteur de 5,5 kW tournant à 2900 rpm entraîne un pignon de 24 dents, qui engrène avec une roue de 50 dents. L’engrenage a un rendement de 96 %. Trouvez le couple de sortie T2 sur l’arbre de la roue.
Une courroie ouverte relie une poulie de 120 mm et une poulie de 450 mm dont les centres sont distants de 500 mm. Trouvez l’angle d’enroulement θ sur la plus petite poulie, en degrés.
Un pendule simple a une longueur de 0,6 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez sa période T pour de petites oscillations.
Une masse de 3,1 kg fixée à un ressort de raideur k = 410 N/m est écartée de 12 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez sa vitesse maximale vmax.
Une masse de 20 kg est portée par un ressort de raideur 200 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 200 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 100 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 20 kN/m et celui du bas k₂ = 80 kN/m. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: t = 10,8 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
À cet instant, la voiture de police roule à 2v = 54 m/s.
Réponse: hmax = 49,73 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: a = 1,731 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
La force motrice résultante est la différence des poids ; elle met en mouvement la masse totale.
Réponse: d = 2,553 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Les deux forces sont dirigées vers le bas de la pente ; la masse se simplifie.
Réponse: x = 132,1 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
Réponse: x = 50,52 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Plus grande racine : la balle descend.
Réponse: v = 24,59 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Réponse: Nbottom = 156 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Le sens vers le centre est positif.
Réponse: T = 98,1 N
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d). Sur une trajectoire circulaire, la force résultante vers le centre doit être égale à mv²/r.
Vérification : T = mg(3 − 2cos θ) = 98,1 N.
Réponse: N = 6,867 N
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d). Sur une trajectoire circulaire, la force résultante vers le centre doit être égale à mv²/r.
Le chariot passe tout juste la boucle quand h = 2,5R ; alors N = 0 au sommet.
Réponse: v′2 = −3,5 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Le signe moins signifie que le second fragment part vers l’arrière.
Réponse: θ = 47,49 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Réponse: T = 24,53 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Réponse: n2 = 35,13 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
L’énergie cinétique augmente : l’énergie supplémentaire provient du travail fourni par la personne en rapprochant les haltères.
Réponse: T2 = 36,22 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: θ = 141,5 °
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: T = 1,554 s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: vmax = 1,38 m/s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,05
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.
Réponse: fn = 2,013 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics