Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à 54 km/h freine avec une décélération constante de 3,5 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance de freinage s.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 16 m/s depuis le bord d’un toit situé à 5 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax au-dessus du sol.
Une caisse glisse sur un sol horizontal avec une vitesse initiale de 8,5 m/s et s’arrête après 15 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le coefficient de frottement cinétique μ.
Deux blocs posés sur un sol horizontal sont reliés par un fil horizontal léger. Une force horizontale de 40 N tire le bloc avant de 4 kg ; le bloc de 6 kg est remorqué derrière. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,25 pour les deux blocs. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T dans le fil de liaison.
Une balle est lancée à 55° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la hauteur maximale H atteinte par la balle.
Une balle est lancée à 26 m/s et 25° au-dessus de l’horizontale depuis le haut d’une falaise de 45 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v avec laquelle elle touche le sol.
Un ingénieur routier veut que les voitures prennent un virage de rayon 90 m à 50 km/h sans compter sur le frottement. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’angle de relèvement θ.
Une balle attachée à un fil de 1,3 m tourne dans un cercle vertical. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle est la vitesse minimale vmin au sommet pour que le fil reste tout juste tendu ?
Une voiture de 800 kg monte une pente de 4° à vitesse constante de 90 km/h. La résistance de l’air et la résistance au roulement totalisent 700 N. Trouvez la puissance P que les roues doivent fournir, en kW.
Un bloc de 4 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 2 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 4 m (μ = 0,1) puis heurte un ressort (k = 2500 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Une voiture de 500 kg roulant à 9 m/s heurte une voiture de 1200 kg à l’arrêt et les deux restent accrochées. Quelle quantité d’énergie cinétique ΔK est perdue lors de la collision ?
Une balle de 0,1 kg frappe un mur à 9 m/s et rebondit droit en arrière à 18 m/s. Le contact dure 25 ms. Trouvez la force moyenne Favg exercée par le mur sur la balle.
Une barre mince homogène de masse 16,5 kg et de longueur 0,6 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez son accélération angulaire α juste après le lâcher.
Une barre mince homogène de masse 4,5 kg et de longueur 0,5 m est suspendue au repos à un pivot sans frottement à son extrémité supérieure. Une balle de 20 g se déplaçant horizontalement à 520 m/s frappe la barre à 0,4 m sous le pivot et reste logée dedans. Trouvez la vitesse angulaire ω de la barre juste après le choc.
Un moteur de 1,5 kW tournant à 960 tr/min entraîne un pignon de 20 dents et de module 5 mm. Trouvez l’effort tangentiel Ft sur les dents du pignon.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (20 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 960 rpm, entraîne la roue B (80 dents). La roue C (12 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (25 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie nout.
Une masse de 0,7 kg accrochée à un ressort de raideur k = 110 N/m est écartée de 6 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez sa vitesse v à t = 1,15 s (avec son signe).
Une masse accrochée à un ressort de raideur k = 270 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 6 cm. Trouvez son énergie cinétique K quand elle est à 2 cm de la position d’équilibre.
Une masse de 20 kg est portée par un ressort de raideur 2 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 30 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 5 kg est suspendue au ressort k₃ = 100 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 100 kN/m et k₂ = 50 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: s = 32,14 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: hmax = 18,05 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: μ = 0,2455
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Réponse: T = 24 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Avec le même μ pour les deux blocs, le frottement disparaît : T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Réponse: H = 35,02 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Au sommet, la vitesse verticale est nulle : vy² = 2gH.
Réponse: v = 39,48 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Énergie ou v² = v₀² + 2as dans la direction verticale.
Vérification par l’énergie : v² = v₀² + 2gh.
Réponse: θ = 12,32 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Réponse: vmin = 3,571 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: P = 31,19 kW
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d). La puissance est la force multipliée par la vitesse : P = F·v.
Réponse: x = 22,41 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: ΔK = 14294 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
L’énergie perdue se transforme en déformation, en chaleur et en son.
Réponse: Favg = 108 N
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: α = 24,53 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
Réponse: ω = 11 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La force du pivot passe par le pivot, donc elle n’y a pas de moment pendant le choc.
Réponse: Ft = 298,4 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Réponse: nout = 115,2 rpm
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
rapport total = 8,333 : 1
Réponse: v = −0,7231 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: K = 0,432 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,075
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.
Réponse: fn = 17,43 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Seuls k1 et k2 sont en parallèle. Cette paire est en série avec k3 ; combinez-les donc par leurs inverses.
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