Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à 90 km/h freine avec une décélération constante de 3 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance de freinage s.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 13 m/s depuis le bord d’un toit situé à 5 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax au-dessus du sol.
Une caisse de 20 kg est poussée à vitesse constante sur une rampe inclinée de 35° par rapport à l’horizontale, par une force parallèle à la rampe. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la force de poussée F.
Un bloc de 3 kg posé sur une table horizontale est relié par un fil léger, passant sur une poulie sans frottement, à une masse suspendue de 5 kg. Le coefficient de frottement dynamique entre le bloc et la table vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Un ballon est frappé depuis un sol horizontal à 34 m/s et 45° au-dessus de l’horizontale en direction d’un mur situé à 82 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y le ballon passe-t-il au niveau du mur ?
Une balle est lancée depuis le sol à 33 m/s et 50° au-dessus de l’horizontale. Elle retombe sur le toit plat d’un bâtiment de 15 m de haut, pendant sa descente. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la distance horizontale x entre le point de lancement et le point d’arrivée.
Une voiture passe sur le sommet d’une bosse de la route, qui est un arc de cercle de rayon 110 m. Prenez g = 9,81 m/s². Au-delà de quelle vitesse vmax les roues quittent-elles la route au sommet ?
Une bille de 0,4 kg au bout d’un fil léger de 0,7 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, sa vitesse vaut 10 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension Ttop du fil au point le plus haut.
Un lanceur jouet comporte un ressort vertical de raideur 800 N/m. On y place une balle de 0,25 kg, on comprime le ressort de 4 cm, puis on le relâche. En négligeant la résistance de l’air et la masse du ressort, trouvez la hauteur h à laquelle monte la balle, mesurée depuis sa position ressort comprimé.
Un bloc de 1 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 4,5 m (μ = 0,2) puis heurte un ressort (k = 1500 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Un mobile de 3,5 kg se déplaçant à 2 m/s subit un choc frontal parfaitement élastique avec un mobile de 5 kg au repos sur un rail sans frottement. Trouvez la vitesse v′1 du premier mobile après le choc (positive dans son sens initial).
Une balle de 0,6 kg frappe un mur à 22 m/s et rebondit droit en arrière à 8 m/s. Le contact dure 40 ms. Trouvez l’intensité de l’impulsion J que le mur communique à la balle.
Une barre mince homogène de masse 18 kg et de longueur 1,8 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la force verticale R que l’articulation exerce sur la barre juste après le lâcher.
Un corps (sphère pleine) de masse 2,5 kg roule sans glisser à 7,5 m/s. Trouvez son énergie cinétique de rotation Erot.
Deux arbres parallèles sont distants de 157,5 mm. Ils doivent être reliés par un engrenage à denture droite de module 5 mm avec un rapport de réduction de 2,5 : 1. Combien de dents N1 le pignon doit-il avoir ?
Une courroie ouverte relie une poulie motrice de 80 mm tournant à 1500 tr/min à une poulie de 400 mm ; les centres sont distants de 1200 mm. Le coefficient de frottement est 0,3 et la tension du brin tendu ne doit pas dépasser 1500 N. Trouvez la plus grande puissance P que la courroie peut transmettre sans glisser, en kW (négligez les effets centrifuges).
Quelle doit être la longueur d’un pendule simple pour que sa période soit de 2,8 s ? Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez L.
Un corps effectue un mouvement harmonique simple de période 1,4 s et d’amplitude 18 cm. Quel est le temps minimal t nécessaire pour passer de la position d’équilibre à une élongation de 9 cm ?
Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 40 mm est suivi, 5 cycles plus tard, d’un pic de 6,1 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 20 kg est suspendue au ressort k₃ = 5 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 15 kN/m et k₂ = 10 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: s = 104,2 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: hmax = 13,61 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: F = 144,7 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Vitesse constante : les forces s’équilibrent.
Réponse: T = 22,07 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: y = 24,94 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Le ballon est déjà en train de redescendre au niveau du mur.
Réponse: x = 94,81 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Plus grande racine : la balle descend.
Réponse: vmax = 32,85 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Ttop = 37,52 N
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
L’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle sur une hauteur de 2r.
La tension et la pesanteur sont toutes deux dirigées vers le bas, vers le centre.
Réponse: h = 0,261 m
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: x = 23,16 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′1 = −0,3529 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Résoudre ensemble la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie donne ces deux résultats.
Le signe moins signifie que le premier mobile rebondit en arrière.
Réponse: J = 18 N·s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: R = 44,15 N
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
R = m·g/4, indépendant de la longueur.
Réponse: Erot = 28,13 J
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Réponse: N1 = 18
Géométrie des engrenages : le module m fixe la taille des dents. Une roue à N dents a un diamètre primitif d = m·N, deux roues qui engrènent ont le même module, et leur entraxe vaut a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La vitesse sur le cercle primitif vaut v = π·d·n/60, et l’effort tangentiel sur la denture découle du couple : Ft = 2T/d.
Réponse: P = 5,445 kW
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: L = 1,948 m
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: t = 0,1167 s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,05975
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 2,297 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Seuls k1 et k2 sont en parallèle. Cette paire est en série avec k3 ; combinez-les donc par leurs inverses.
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