Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 670 patients ont reçu un nouveau traitement et 680 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez le nombre de patients à traiter NNT pour éviter un événement. Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
traitement: 198/670témoin: 252/680
NNT =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 50 % pour une maladie. Un test de sensibilité 77 % et de spécificité 82 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 50%Se = 77%Sp = 82%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 23, 43, 39, 22, 47, 52, 35.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 48 ?
μ = 60σ = 12x = 48
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 11 éléments a une moyenne de 30,5 et un écart-type s = 18,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 11x̄ = 30,5s = 18,590%t(10) = 1,812
E =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 18. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 18E = 195%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
16 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 2,07 et l’écart-type des différences 6,9. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 16d̄ = 2,07sd = 6,9
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 50 contre H₁ : μ < 50 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 15. En réalité, la moyenne vaut 46.25. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 50μ = 46,25σ = 15n = 36α = 0,01
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNT = 14
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 198/670 = 0,2955
CER = 252/680 = 0,3706
Nombre de patients à traiter (NNT)
ARR = 0,3706 − 0,2955 = 0,07507
NNT = 1/0,07507 = 13,32 → 14
Réponse
NNT = 14
Traiter 14 patients évite environ un événement.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 81,1 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,77/(1 − 0,82) = 4,278
Cote pré-test
0,5/(1 − 0,5) = 1
Cote post-test
1·4,278 = 4,278
Probabilité post-test
p′ = 4,278/(1 + 4,278) = 0,8105 ≈ 81,1%
Réponse
p′ = 81,1%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 11,47
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Réponse
P = 0,1587
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 10,11
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Marge d'erreur
E = 1,812·18,5/√11 = 10,11
Réponse
E = 10,11
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1245
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·18/1)² = 1245
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1245
Réponse
n = 1245
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 6,9/√16 = 1,725
Statistique de test
t = 2,07/1,725 = 1,2
Réponse
t = 1,2
Avec df = 15, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,131 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 20,44 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).