Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 73 % et une spécificité de 89 %. Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
Se = 73%Sp = 89%
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 72 % et de spécificité 96 %. La prévalence de la maladie est de 1 %. Combien de résultats positifs n₊ attend-on au total ?
N = 10 000p = 1%Se = 72%Sp = 96%
n₊ =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 32, 40, 29, 16, 25, 45, 42.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 65.
μ = 70σ = 10x = 65
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 103,5 h, écart-type connu 10 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 104 h, écart-type connu 12 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 30 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 7,2 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 29, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 16,047 et 2,5 % au-dessus de 45,722.
n = 30s = 7,2 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 12 étudiants, note moyenne 26,5, écart-type 5,5. Groupe 2 : 5 étudiants, note moyenne 14,8, écart-type 11,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 2,5 unités avec une puissance de 80 %. L’écart-type vaut 21. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,3
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,73)/0,89 = 0,3034 ≈ 0,3
Réponse
LR− = 0,3
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: n₊ = 468
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,01 = 100
10 000 − 100 = 9900
Tous les résultats positifs
TP = 100·0,72 = 72
FP = 9900·0,04 = 396
n₊ = 72 + 396 = 468
Réponse
n₊ = 468
Sur les 468 positifs, seuls 72 ont la maladie (VPP 15,4 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 10,36
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (65 − 70)/10 = −0,5
Réponse
z = −0,5
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 2,74 h
Intervalle pour une différence : estimation ± valeur critique × erreur type. Pour deux moyennes indépendantes avec σ connus : SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) et z. Avec des variances inconnues égales : s_p commun et t à n₁ + n₂ − 2 degrés de liberté. Pour des données appariées, travaillez sur les différences : d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 103,5 − 104 = −0,5
Erreur type
SE = √(10²/100 + 12²/50) = 1,97
Marge d'erreur
E = 1,645·1,97 = 3,24
Intervalle
−0,5 ± 3,24 → [−3,74, 2,74]
Réponse
borne supérieure = 2,74 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 5,734 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 29·7,2² = 1503
Bornes pour σ²
1503/45,722 = 32,88
1503/16,047 = 93,68
Borne pour σ
σ = √32,88 = 5,734 µm
Réponse
σ = 5,734 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [5,734, 9,679] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,9
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Variance commune
sp² = (11·5,5² + 4·11,5²)/15 = 57,45
sp = 7,58
Erreur type
SE = 7,58·√(1/12 + 1/5) = 4,035
Statistique de test
t = (26,5 − 14,8)/4,035 = 2,9
Réponse
t = 2,9
Avec df = 15, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,131 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 437
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.