Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une cohorte, des groupes de personnes ont été suivis pendant des durées différentes (voir le tableau : nombre de personnes et années de suivi de chaque groupe). Pendant le suivi, 10 nouveaux cas sont survenus. Trouvez le taux d’incidence IR pour 1000 personnes-années. Arrondissez à une décimale.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 89 % et une spécificité de 97 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 0,5 %. Trouvez la valeur prédictive négative NPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 89%Sp = 97%p = 0,5%
NPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 30, 47, 34, 60, 55, 46, 46.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 96 ?
μ = 100σ = 5x = 96
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 90 % pour une moyenne, fondé sur 64 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 11,2. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 95 % obtenu avec les mêmes données ?
90%n₁ = 64E₁ = 11,295%
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 49 kg, écart-type 3,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 21 parcelles, moyenne 41 kg, écart-type 9,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 11 étudiants, note moyenne 46, écart-type 5,5. Groupe 2 : 10 étudiants, note moyenne 51,7, écart-type 9,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 11x̄₁ = 46s₁ = 5,5n₂ = 10x̄₂ = 51,7s₂ = 9,5
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 2,5 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 22. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IR = 8,3 pour 1000 personnes-années
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Personnes-années
PY = 70·2,5 + 560·0,5 + 300·2,5 = 1205
Taux d’incidence
IR = 10/1205·1000 = 8,3 pour 1000 personnes-années
Réponse
IR = 8,3 pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NPV = 99,9 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux négatifs (par personne)
Sp·(1 − p) = 0,97·0,995 = 0,9651
(1 − Se)·p = 0,11·0,005 = 0,00055
Valeur prédictive négative
NPV = 0,9651/(0,9651 + 0,00055) = 0,9994 ≈ 99,9%
Réponse
NPV = 99,9%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 10,61
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Réponse
P = 0,2119
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 13,34
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/64) = 1,191
Nouvelle marge
E₂ = 11,2·1,191 = 13,34
Réponse
E₂ = 13,34
6.Intervalles de confiance
Réponse: E = 9,027 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·3,5² + 20·9,5²)/24 = 77,25
sp = 8,789
Marge d'erreur
E = 2,064·8,789·√(1/5 + 1/21) = 9,027
Réponse
E = 9,027 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,703
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (10·5,5² + 9·9,5²)/19 = 58,67
sp = 7,66
Erreur type
SE = 7,66·√(1/11 + 1/10) = 3,347
Statistique de test
t = (46 − 51,7)/3,347 = −1,703
Réponse
t = −1,703
Avec df = 19, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,093 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.