Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 78 % et une spécificité de 69 %. Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
Se = 78%Sp = 69%
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 78 % et de spécificité 92 %. La prévalence de la maladie est de 16 %. Combien de résultats vrais positifs TP attend-on ?
N = 10 000p = 16%Se = 78%Sp = 92%
TP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 36, 48, 30, 36, 36.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 68 ?
μ = 60σ = 20x = 68
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 30 téléphones, moyenne 106,5 h, écart-type connu 18 h. Modèle 2 : 80 téléphones, moyenne 103,5 h, écart-type connu 7 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 10 parcelles, rendement moyen 39,5 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 48 kg, écart-type 4 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 52,4 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,4s = 8n = 16
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ > 100 est réalisé au seuil α = 0,01 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 8. En réalité, la moyenne vaut 102,2. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.
μ₀ = 100μ = 102,2σ = 8n = 64α = 0,01
β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,32
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,78)/0,69 = 0,3188 ≈ 0,32
Réponse
LR− = 0,32
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: TP = 1248
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,16 = 1600
10 000 − 1600 = 8400
Vrais positifs
TP = 1600·0,78 = 1248
Réponse
TP = 1248
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 6,401
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,4
Table de la loi normale
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Réponse
P = 0,3446
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −3,621 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 103,5 = 3
Erreur type
SE = √(18²/30 + 7²/80) = 3,378
Marge d'erreur
E = 1,96·3,378 = 6,621
Intervalle
3 ± 6,621 → [−3,621, 9,621]
Réponse
borne inférieure = −3,621 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −15,07 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (9·8,5² + 5·4²)/14 = 52,16
sp = 7,222
Marge d'erreur
E = 1,761·7,222·√(1/10 + 1/6) = 6,568
Intervalle
−8,5 ± 6,568 → [−15,07, −1,932]
Réponse
borne inférieure = −15,07 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,2
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Statistique de test
t = (52,4 − 50)/2 = 1,2
Réponse
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: β = 55,01 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).