Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 450 patients ont reçu un nouveau traitement et 810 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez le risque relatif RR de l’événement avec le traitement. Arrondissez à deux décimales.
traitement: 65/450témoin: 194/810
RR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 75 % et de spécificité 79 %. La prévalence de la maladie est de 24 %. Combien de résultats positifs n₊ attend-on au total ?
N = 10 000p = 24%Se = 75%Sp = 79%
n₊ =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 20, 22, 26, 42, 50.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 158.
μ = 170σ = 15x = 158
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 90 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,5. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 95 % fondé sur 144 observations ?
90%n₁ = 36E₁ = 8,595%n₂ = 144
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 17. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 17E = 399%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 100 pièces a une longueur moyenne de 115,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 17 mm. Ligne 2 : un échantillon de 80 pièces a une moyenne de 113,3 mm, écart-type connu 20 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 50 contre H₁ : μ < 50 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 18. En réalité, la moyenne vaut 44.3. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.
μ₀ = 50μ = 44,3σ = 18n = 36α = 0,01
β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: RR = 0,6
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 65/450 = 0,1444
CER = 194/810 = 0,2395
Risque relatif
RR = 0,1444/0,2395 = 0,6031 ≈ 0,6
Réponse
RR = 0,6
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: n₊ = 3396
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,24 = 2400
10 000 − 2400 = 7600
Tous les résultats positifs
TP = 2400·0,75 = 1800
FP = 7600·0,21 = 1596
n₊ = 1800 + 1596 = 3396
Réponse
n₊ = 3396
Sur les 3396 positifs, seuls 1800 ont la maladie (VPP 53 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 13,27
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (158 − 170)/15 = −0,8
Réponse
z = −0,8
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 5,064
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/144) = 0,5957
Nouvelle marge
E₂ = 8,5·0,5957 = 5,064
Réponse
E₂ = 5,064
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 214
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·17/3)² = 213,1
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 214
Réponse
n = 214
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 0,7832
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(17²/100 + 20²/80) = √7,89 = 2,809
Statistique de test
z = (115,5 − 113,3)/2,809 = 0,7832
Réponse
z = 0,7832
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: β = 66,49 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).