Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 90 % et une spécificité de 86 %. Trouvez le rapport de vraisemblance positif LR+. Arrondissez à deux décimales.
Se = 90%Sp = 86%
LR+ =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 83 % et de spécificité 99 %. La prévalence de la maladie est de 3 %. Combien de résultats positifs n₊ attend-on au total ?
N = 10 000p = 3%Se = 83%Sp = 99%
n₊ =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 30, 19, 42, 28, 53, 29.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 172 ?
μ = 170σ = 5x = 172
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 64 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 1,2. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % obtenu avec les mêmes données ?
99%n₁ = 64E₁ = 1,290%
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 6. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 6E = 199%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 8 étudiants, note moyenne 85, écart-type 11. Groupe 2 : 9 étudiants, note moyenne 75,9, écart-type 3. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 8x̄₁ = 85s₁ = 11n₂ = 9x̄₂ = 75,9s₂ = 3
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 3 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 10. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR+ = 6,43
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance positif
LR+ = 0,9/(1 − 0,86) = 6,429 ≈ 6,43
Réponse
LR+ = 6,43
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: n₊ = 346
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,03 = 300
10 000 − 300 = 9700
Tous les résultats positifs
TP = 300·0,83 = 249
FP = 9700·0,01 = 97
n₊ = 249 + 97 = 346
Réponse
n₊ = 346
Sur les 346 positifs, seuls 249 ont la maladie (VPP 72 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 12,05
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,4
Table de la loi normale
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Réponse
P = 0,3446
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 0,7663
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386
Nouvelle marge
E₂ = 1,2·0,6386 = 0,7663
Réponse
E₂ = 0,7663
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 239
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·6/1)² = 238,9
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 239
Réponse
n = 239
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,393
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (7·11² + 8·3²)/15 = 61,27
sp = 7,827
Erreur type
SE = 7,827·√(1/8 + 1/9) = 3,803
Statistique de test
t = (85 − 75,9)/3,803 = 2,393
Réponse
t = 2,393
Avec df = 15, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,131 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 145
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.