Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 100 patients atteints d’une maladie (cas) et 680 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 75b = 408c = 25d = 272
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 40 % pour une maladie. Un test de sensibilité 76 % et de spécificité 70 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 40%Se = 76%Sp = 70%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 49, 12, 16, 10, 26, 23, 19.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 40 ?
μ = 70σ = 15x = 40
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 10 éléments a une moyenne de 23,5 et un écart-type s = 18,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 10x̄ = 23,5s = 18,599%t(9) = 3,25
E =
6.Intervalles de confianceDifficile
Une étude pilote suggère qu’environ 0,15 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,03 ?
p ≈ 0,15E = 0,0390%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 500 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 6. Un échantillon aléatoire de 144 observations a une moyenne de 500,55. Testez H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ > 500. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 500,55H₁: μ > μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 81 mesures a une moyenne de 499,1. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 499,1σ = 10n = 8195%
U =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 2
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 75/25 = 3
témoins: 408/272 = 1,5
Odds ratio
OR = (75·272)/(408·25) = 2
Réponse
OR = 2
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 62,8 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,76/(1 − 0,7) = 2,533
Cote pré-test
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Cote post-test
0,6667·2,533 = 1,689
Probabilité post-test
p′ = 1,689/(1 + 1,689) = 0,6281 ≈ 62,8%
Réponse
p′ = 62,8%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 13,13
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −2
Table de la loi normale
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Réponse
P = 0,02275
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 19,01
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Marge d'erreur
E = 3,25·18,5/√10 = 19,01
Réponse
E = 19,01
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 384
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,645²·0,15·0,85/0,03² = 383,4
Arrondir vers le haut
n = 384
Réponse
n = 384
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,1357
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (500,55 − 500)/0,5 = 1,1
Aire de la queue
Φ(1,1) = 0,8643
1 − Φ(1,1) = 0,1357
Valeur p
p = 0,1357
Réponse
p = 0,1357
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 501,3
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).