Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 92 % et une spécificité de 64 %. Trouvez le rapport de vraisemblance positif LR+. Arrondissez à deux décimales.
Se = 92%Sp = 64%
LR+ =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 60 % pour une maladie. Un test de sensibilité 98 % et de spécificité 79 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 60%Se = 98%Sp = 79%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 60, 37, 54, 23, 27, 15.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 75.
μ = 60σ = 12x = 75
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 11,5. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 99 % fondé sur 144 observations ?
95%n₁ = 36E₁ = 11,599%n₂ = 144
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 16 parcelles, rendement moyen 68,5 kg, écart-type 4 kg. Groupe de parcelles 2 : 15 parcelles, moyenne 58,5 kg, écart-type 4 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 102,3 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,3s = 15n = 64
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 150 patients sur 250 sous traitement A guérissent, et 106 sur 200 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 106n₂ = 200
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR+ = 2,56
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance positif
LR+ = 0,92/(1 − 0,64) = 2,556 ≈ 2,56
Réponse
LR+ = 2,56
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 87,5 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,98/(1 − 0,79) = 4,667
Cote pré-test
0,6/(1 − 0,6) = 1,5
Cote post-test
1,5·4,667 = 7
Probabilité post-test
p′ = 7/(1 + 7) = 0,875 = 87,5%
Réponse
p′ = 87,5%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 17,84
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (75 − 60)/12 = 1,25
Réponse
z = 1,25
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 7,557
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(36/144) = 0,6571
Nouvelle marge
E₂ = 11,5·0,6571 = 7,557
Réponse
E₂ = 7,557
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 13,96 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (15·4² + 14·4²)/29 = 16
sp = 4
Marge d'erreur
E = 2,756·4·√(1/16 + 1/15) = 3,962
Intervalle
10 ± 3,962 → [6,038, 13,96]
Réponse
borne supérieure = 13,96 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,227
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Statistique de test
t = (102,3 − 100)/1,875 = 1,227
Réponse
t = 1,227
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 1,49
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 150/250 = 0,6
p̂₂ = 106/200 = 0,53
p̂ = 256/450 = 0,5689
Erreur type sous H₀
SE = √(0,5689·0,4311·(1/250 + 1/200)) = 0,04698
Statistique de test
z = (0,6 − 0,53)/0,04698 = 1,49
Réponse
z = 1,49
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).