Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 70 patients atteints d’une maladie (cas) et 700 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 43b = 273c = 27d = 427
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 60 % pour une maladie. Un test de sensibilité 64 % et de spécificité 71 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 60%Se = 64%Sp = 71%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 34, 22, 16, 35, 14, 43.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 42 ?
μ = 60σ = 15x = 42
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 20 éléments a une moyenne de 85 et un écart-type s = 16,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 20x̄ = 85s = 16,595%t(19) = 2,093
E =
6.Intervalles de confianceDifficile
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,025 ?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 96,56 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96,56s = 10n = 81
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 48 patients sur 120 sous traitement A guérissent, et 81 sur 150 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 81n₂ = 150
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 2,49
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 43/27 = 1,593
témoins: 273/427 = 0,6393
Odds ratio
OR = (43·427)/(273·27) = 2,491 ≈ 2,49
Réponse
OR = 2,49
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 76,8 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,64/(1 − 0,71) = 2,207
Cote pré-test
0,6/(1 − 0,6) = 1,5
Cote post-test
1,5·2,207 = 3,31
Probabilité post-test
p′ = 3,31/(1 + 3,31) = 0,768 = 76,8%
Réponse
p′ = 76,8%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 11,69
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Réponse
P = 0,1151
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 7,722
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Marge d'erreur
E = 2,093·16,5/√20 = 7,722
Réponse
E = 7,722
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Arrondir vers le haut
n = 1083
Réponse
n = 1083
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,096
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Statistique de test
t = (96,56 − 100)/1,111 = −3,096
Réponse
t = −3,096
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,288
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 48/120 = 0,4
p̂₂ = 81/150 = 0,54
p̂ = 129/270 = 0,4778
Erreur type sous H₀
SE = √(0,4778·0,5222·(1/120 + 1/150)) = 0,06118
Statistique de test
z = (0,4 − 0,54)/0,06118 = −2,288
Réponse
z = −2,288
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).