Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 350 patients atteints d’une maladie (cas) et 210 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 158b = 36c = 192d = 174
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 71 % et de spécificité 99 %. La prévalence de la maladie est de 12 %. Combien de résultats vrais positifs TP attend-on ?
N = 10 000p = 12%Se = 71%Sp = 99%
TP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 15, 33, 34, 47, 57.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 37,5 ?
μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 éléments a une moyenne de 91,5 et un écart-type s = 6. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 16x̄ = 91,5s = 699%t(15) = 2,947
E =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 9 parcelles, rendement moyen 28,5 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 5 parcelles, moyenne 19 kg, écart-type 9,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
8 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 8,69 et l’écart-type des différences 6,3. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 8d̄ = 8,69sd = 6,3
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 3 unités avec une puissance de 80 %. L’écart-type vaut 19. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 3,98
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 158/192 = 0,8229
témoins: 36/174 = 0,2069
Odds ratio
OR = (158·174)/(36·192) = 3,977 ≈ 3,98
Réponse
OR = 3,98
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: TP = 852
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,12 = 1200
10 000 − 1200 = 8800
Vrais positifs
TP = 1200·0,71 = 852
Réponse
TP = 852
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,88
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,5
Table de la loi normale
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 4,421
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Marge d'erreur
E = 2,947·6/√16 = 4,421
Réponse
E = 4,421
6.Intervalles de confiance
Réponse: E = 10,75 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (8·8,5² + 4·9,5²)/12 = 78,25
sp = 8,846
Marge d'erreur
E = 2,179·8,846·√(1/9 + 1/5) = 10,75
Réponse
E = 10,75 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 3,901
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 6,3/√8 = 2,227
Statistique de test
t = 8,69/2,227 = 3,901
Réponse
t = 3,901
Avec df = 7, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,365 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 403
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.