Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de plaque de plâtre et de 75 mm de bois, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -13 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de verre et 25 mm de béton sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -8 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 220 kW. Le fluide chaud se refroidit de 90 à 65 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 50 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 220 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 90 → 65 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Le fluide chaud entre à 110 °C et le fluide froid à 10 °C. L’échangeur a A = 1,5 m² et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 110 °CTc,in = 10 °CA = 1,5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 90,67 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,3309 = 90,67 W
Réponse
Q̇ = 90,67 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 10,9 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,04807 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-8))/0,04807 = 582,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 582,5·0,01563 = 10,9 °C
Réponse
Ts = 10,9 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 23,35 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 50 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 10 = 55 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 55)/ln(40/55) = 47,1 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 220000/(200·47,1) = 23,35 m²
Réponse
A = 23,35 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 86,92 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
1,5·(110 − Th,out) = 0,45·(Th,out − 10)
Th,out = (1,5·110 + 0,45·10)/(1,5 + 0,45) = 86,92 °C
Réponse
Th,out = 86,92 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 34,62 kW ; le fluide froid sort à 33,08 °C.
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