Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de verre et de 50 mm de béton, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et 2 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = 2 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de polystyrène expansé et 25 mm de brique sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -10 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 120 kW. Le fluide chaud se refroidit de 110 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 85 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 120 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 110 → 45 °CTc: 15 → 85 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Le fluide chaud entre à 80 °C et le fluide froid à 15 °C. L’échangeur a A = 2 m² et U = 800 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 80 °CTc,in = 15 °CA = 2 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 7,695 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,01463 = 956,7 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 956,7·0,008681 = 7,695 °C
Réponse
Ti = 7,695 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,1681 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·6) = 0,005787 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,9915 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,9915) = 0,1681 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,1681 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 21,88 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 85 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 30)/ln(25/30) = 27,42 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(200·27,42) = 21,88 m²
Réponse
A = 21,88 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 46,45 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
1,5·(80 − Th,out) = 1,6·(Th,out − 15)
Th,out = (1,5·80 + 1,6·15)/(1,5 + 1,6) = 46,45 °C
Réponse
Th,out = 46,45 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 50,32 kW ; le fluide froid sort à 48,55 °C.
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