Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de plaque de plâtre et de 100 mm de bois, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 15 °C et 0 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = 0 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de laine minérale et 100 mm de bois sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -11 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 140 kW. Sa surface d’échange est de 6 m². Le fluide chaud se refroidit de 125 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 65 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 140 kWA = 6 m²Th: 125 → 85 °CTc: 30 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 1 kW/K. Le fluide chaud entre à 100 °C et le fluide froid à 25 °C. L’échangeur a A = 0,5 m² et U = 800 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 100 °CTc,in = 25 °CA = 0,5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 10 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,05882 = 255 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 255·0,01961 = 10 °C
Réponse
Ti = 10 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,1726 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·20) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,2897 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,2897) = 0,1726 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,1726 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 484,8 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 30 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 65 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 20)/ln(95/20) = 48,13 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 140000/(6·48,13) = 484,8 W/(m²·K)
Réponse
U = 484,8 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 78,57 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
1·(100 − Th,out) = 0,4·(Th,out − 25)
Th,out = (1·100 + 0,4·25)/(1 + 0,4) = 78,57 °C
Réponse
Th,out = 78,57 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 21,43 kW ; le fluide froid sort à 46,43 °C.
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