Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Bois, k = 0,1750 mmVerre, k = 0,96150 mm17 °C-12 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 50 mm de bois et de 150 mm de verre, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -12 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Béton, k = 1,4100 mmBois, k = 0,1725 mmpièce 21 °Cextérieur -3 °CQ̇

Un mur de 100 mm de béton et 25 mm de bois sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -3 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT105 °C10 °C75 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 105 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 10 à 75 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 105 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 75 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT150 °C105 °C51,91 °C25 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 150 à 105 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 150 → 105 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 386,4 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,07506 = 386,4 W

Réponse

Q̇ = 386,4 W
2.Conduction thermique

Réponse: U = 2,39 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,03487 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,03487) = 2,39 W/(m²·K)

Réponse

U = 2,39 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 7,227 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 1,5·4,18·(75 − 10) = 407,5 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 105 − 10 = 95 K
ΔT₂ = 105 − 75 = 30 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 30)/ln(95/30) = 56,39 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 407550/(1000·56,39) = 7,227 m²

Réponse

A = 7,227 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 8,452 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·45 = 225 kW
Tc,out = 25 + 225/(2·4,18) = 51,91 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 51,91 = 98,09 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 25 = 80 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (98,09 − 80)/ln(98,09/80) = 88,74 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 225000/(300·88,74) = 8,452 m²

Réponse

A = 8,452 m²

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