Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de laine minérale et de 50 mm de brique, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et -1 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de plaque de plâtre et 100 mm de laine minérale sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -14 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 330 kW. Sa surface d’échange est de 6 m². Le fluide chaud se refroidit de 180 à 100 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 55 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 330 kWA = 6 m²Th: 180 → 100 °CTc: 30 → 55 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 135 à 50 °C. L’eau (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 32 mm, et U = 400 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 135 → 50 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 18,85 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·4) = 0,01736 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,9549 = 18,85 W
Réponse
Q̇ = 18,85 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3387 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3691 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,3691) = 0,3387 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3387 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 630,7 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 180 − 30 = 150 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 55 = 45 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150 − 45)/ln(150/45) = 87,21 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 330000/(6·87,21) = 630,7 W/(m²·K)
Réponse
U = 630,7 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 58,8 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,5·2,5·(135 − 50) = 106,3 kW
Tc,out = 20 + 106,3/(0,5·4,18) = 70,84 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 70,84 = 64,16 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (64,16 − 30)/ln(64,16/30) = 44,94 K
Surface et longueur
A = 106250/(400·44,94) = 5,911 m²
L = A/(πD) = 5,911/(π·0,032) = 58,8 m
Réponse
L = 58,8 m
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