Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Plaque de plâtre, k = 0,17250 mmBéton, k = 1,450 mm18 °C-12 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 250 mm de plaque de plâtre et de 50 mm de béton, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et -12 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,03550 mmPlaque de plâtre, k = 0,17150 mmpièce 21 °Cextérieur -11 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 150 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -11 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT160 °C100 °C35 °C10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 570 kW. Le fluide chaud se refroidit de 160 à 100 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 35 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,88, et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 570 kWF = 0,88U = 300 W/(m²·K)Th: 160 → 100 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT150 °C115 °C29,63 °C20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 150 à 115 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 3 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 1000 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 115 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 239 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·12) = 0,1225 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,1255 = 239 W

Réponse

Q̇ = 239 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 18,88 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·10) = 0,1429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,2511 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (21 − (-11))/0,2511 = 127,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 127,4·0,01667 = 18,88 °C

Réponse

Ts = 18,88 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 20,26 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités (contre-courant)

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 35 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 10 = 90 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 90)/ln(125/90) = 106,5 K

Surface

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 570000/(300·0,88·106,5) = 20,26 m²

Réponse

A = 20,26 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 1,127 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·35 = 120,7 kW
Tc,out = 20 + 120,7/(3·4,18) = 29,63 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 29,63 = 120,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 20 = 95 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120,4 − 95)/ln(120,4/95) = 107,2 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120750/(1000·107,2) = 1,127 m²

Réponse

A = 1,127 m²

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