Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de bois et de 75 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 22 °C et -9 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 22 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de béton et 100 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -11 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 360 kW. Le fluide chaud se refroidit de 135 à 55 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 40 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 360 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 135 → 55 °CTc: 15 → 40 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 160 à 55 °C. L’eau (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 400 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 55 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 9,6 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,1838 = 168,6 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 168,6·0,07353 = 9,6 °C
Réponse
Ti = 9,6 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3181 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,786 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,786) = 0,3181 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3181 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 5,662 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 40 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 40)/ln(95/40) = 63,58 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(1000·63,58) = 5,662 m²
Réponse
A = 5,662 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 37 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,3·2,5·(160 − 55) = 78,75 kW
Tc,out = 20 + 78,75/(0,8·4,18) = 43,55 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 43,55 = 116,5 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (116,5 − 35)/ln(116,5/35) = 67,76 K
Surface et longueur
A = 78750/(400·67,76) = 2,906 m²
L = A/(πD) = 2,906/(π·0,025) = 37 m
Réponse
L = 37 m
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