Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de bois et de 75 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et 10 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = 10 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de brique et 100 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -15 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 270 kW. Sa surface d’échange est de 6 m². Le fluide chaud se refroidit de 95 à 50 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 35 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.
Q̇ = 270 kWA = 6 m²Th: 95 → 50 °CTc: 25 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 105 à 55 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 17,85 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·4) = 0,5357 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,6828 = 14,65 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 14,65·0,1471 = 17,85 °C
Réponse
Ti = 17,85 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 250,7 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,1476 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-15))/0,1476 = 250,7 W
Réponse
Q̇ = 250,7 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: U = 1260 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 25 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 35 = 15 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 15)/ln(70/15) = 35,7 K
Coefficient global
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 270000/(6·35,7) = 1260 W/(m²·K)
Réponse
U = 1260 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 8,018 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·50 = 172,5 kW
Tc,out = 25 + 172,5/(2·4,18) = 45,63 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 45,63 = 59,37 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (59,37 − 30)/ln(59,37/30) = 43,03 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 172500/(500·43,03) = 8,018 m²
Réponse
A = 8,018 m²
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